Question

Касательные в точках B и C к описанной окружности треугольника ABC (с острым углом A) пересекаются в точке K, точка M – середина стороны BC. Какое наибольшее значение может принимать угол BAC (в градусах), если углы MAK и KAC равны соответственно 16 и 26 градусам

Answer 1

Ответ:

45

Объяснение:

при помощи свойств окружности и касательной замечаем, что угол kbc и kcm равны. проводим km. доказываем, что треугольники равны. позже доказываем, что bm = mk по 4 методу Султанова(можете ознакомиться на ютубе) для треугольников, образуемых касательными. Следовательно угол kcm равен 45 градусов, поэтому угол a равен 45

Answer 2

Пусть O - центр описанной окружности треугольника ABC, а D - точка пересечения касательных в точках B и C.

Так как KA и KC - касательные к окружности, то угол KAC равен углу AKC (углы, составленные окружностью и хордой на одной и той же дуге равны). Значит, угол KAC равен 26 градусам.

Также угол BAC можно представить как сумму углов BAK и KAC, так как эти углы составляют прямую линию. Из условия задачи угол KAC равен 26 градусам. Значит, угол BAC = BAK + KAC = 16 + 26 = 42 градусам.

Теперь рассмотрим треугольник ADM, где M - середина стороны BC.

Так как AM - медиана треугольника ABC, то угол BAC = 2 * угла MAD (соотношение между углами при основании и вершинными углами равнобедренного треугольника).

Таким образом, найдем угол MAD. Угол MAK (по условию) равен 16 градусам, угол KAC равен 26 градусам. Значит, угол MAC = MAK + KAC = 16 + 26 = 42 градусам.

Угол MAD можно найти, вычитая из угла MAC угол DAC (DAC = 90 градусов, так как треугольник ADC прямоугольный).

Угол MAD = MAC - DAC = 42 - 90 = -48 градусов.

Но угол MAD не может быть отрицательным.

Таким образом, мы приходим к противоречию.

Значит, нет такого треугольника ABC, у которого углы MAK и KAC равны 16 и 26 градусам соответственно.