Question

 Даю 80 баллов!!!! У рівнобічній трапеції менша основа відноситься до бічної сторони, як 4 : 7, а діагональ є бісектрисою тупого кута. Знайдіть середню лінію трапеції, якщо її периметр дорівнює 100 см.​

Answer 1

Ответ:

22см

Объяснение:

..........................

Answer 2

Давайте намалюємо рівнобічну трапецію, де менша основа відноситься до бічної сторони як 4:7:

A ________ B /| |\ / | | \ / | | \ / | | \ / | | \ F /_____|______|_____\ E G C D

Позначимо дані: AB = c (менша основа) GF = DE = a (бічна сторона) CF = DG = b (діагональ - бісектриса тупого кута)

За умовою задачі, відношення меншої основи до бічної сторони дорівнює 4:7. Тобто AB : GF = 4:7. Враховуючи, що AB = c і GF = a, ми можемо записати:

c : a = 4 : 7 (1)

Також, знаючи, що діагональ CF є бісектрисою тупого кута, ми можемо записати:

CD / CF = DE / CF = 1 : 1

CD = CF (2) DE = CF (3)

За допомогою теореми Піфагора для трикутника CDE ми можемо записати:

CD^2 + DE^2 = CF^2

Оскільки CD = CF і DE = CF, то ми можемо переписати це рівняння:

CD^2 + CD^2 = CF^2

2 * CD^2 = CF^2 (4)

Знаючи, що периметр трапеції дорівнює 100 см, ми можемо записати:

AB + BC + CD + DA = 100 c + b + CD + c = 100 2c + b + CD = 100 (5)

Тепер давайте знайдемо вираз для середньої лінії трапеції. За властивостями рівнобічної трапеції, середня лінія є середнє арифметичне значенням основ:

EF = (AB + CD) / 2

Але ми знаємо, що CD = CF (за (2)), і AB = c. Тому можемо переписати:

EF = (c + CF) / 2 (6)

Ми маємо систему рівнянь (1), (4) і (5) з 3 невідомими a, b і c. Давайте розв'яжемо цю систему.

З (1): c/a = 4/7 Тому, c = (4/7)a

Підставимо в (5):

2(4/7)a + b + CD = 100 (8/7)a + b + CD = 100 (7)

З (4): 2 * CD^2 = CF^2 З (2): CD = CF Отже, CF^2 = 2 * CD^2 Сполучивши це з (7):

(8/7)a + b + 2CD^2 = 100 (8)

Тепер, оскільки DE = CF, ми можемо замінити CF на a (і замість DE напишемо a):

(8/7)a + b + 2a^2 = 100 (9)

Оскільки ми маємо систему з двох рівнянь, ми можемо використати її для розв'язання a і b.

Але спочатку давайте розв'яжемо рівняння (6) для EF. Підставимо тепершні значення c і CF:

EF = (c + CF) / 2 EF = (c + a) / 2 EF = ((4/7)a + a) / 2 EF = (11/7)a / 2 EF = (11/14)a (10)

Отже, ми маємо вираз для середньої лінії трапеції: EF = (11/14)a.

Тепер ми маємо рівняння (9) з двома невідомими a і b. Давайте розв'яжемо його.

(8/7)a + b + 2a^2 = 100

Із (1) ми знаємо, що c = (4/7)a. Підставимо це вираз для c в (9):

(8/7)a + b + 2((4/7)a)^2 = 100 (8/7)a + b + 2(16/49)a^2 = 100 (8/7)a + b + (32/49)a^2 = 100 (11)

Тепер ми маємо систему рівнянь (10) і (11) з двома невідомими a і b.

Зараз ми можемо використати числові методи для знаходження чисельних значень a і b, наприклад, метод елімінації Гаусса або метод підрядних наближень. Ці методи складніші, але вони дозволять вам знайти чисельні значення a і b.

Якщо вам потрібні чисельні значення a і b, будь ласка, надайте більше деталей, які конкретно значення або вимоги ви шукаєте, і ми надамо розв'язок за ними.

Answer 3

Для розв'язання цієї задачі спочатку визначимо довжини сторін трапеції.

Позначимо: - \( a \) - менша основа, - \( b \) - більша основа, - \( c \) та \( d \) - бічні сторони трапеції.

За умовою задачі відомо, що відношення меншої основи до бічної сторони становить 4:7. Математично це можна виразити як \( a : c = 4 : 7 \).

Також відомо, що діагональ трапеції є бісектрисою тупого кута. З цього можна зробити висновок, що трикутник, утворений більшою основою, меншою основою та діагоналлю трапеції, є прямокутним трикутником.

Використовуючи теорему Піфагора, маємо: \[ b^2 = a^2 + d^2 \]

Також відомо, що периметр трапеції дорівнює 100 см: \[ P = a + b + c + d = 100 \]

Знаючи вираз для меншої основи у вигляді \( a = \frac{4}{7}c \) та використовуючи рівняння Піфагора, можемо записати вираз для більшої основи \( b \): \[ b = \sqrt{\left(\frac{4}{7}c\right)^2 + d^2} \]

Тепер можемо записати рівняння для периметра трапеції: \[ P = a + b + c + d = \frac{4}{7}c + \sqrt{\left(\frac{4}{7}c\right)^2 + d^2} + c + d = 100 \]

Отримали рівняння з двома невідомими \( c \) та \( d \). Його можна вирішити для знаходження значень цих невідомих.

Після знаходження значень \( c \) та \( d \) можна обчислити меншу основу \( a = \frac{4}{7}c \) та більшу основу \( b = \sqrt{\left(\frac{4}{7}c\right)^2 + d^2} \).

Середню лінію трапеції можна знайти як середнє арифметичне більшої та меншої основи: \[ \text{Середня лінія} = \frac{a + b}{2} \]

Це буде відповідь на задачу.