Question

Прямая l, проходящая через середину стороны АС треугольника АВС, пересекает стороны ВА и ВС угла АВС в точках D и E соответственно. Докажите, что если BD = BE, то AD = CE.

Answer 1

Через точку A проведем параллельную BC, прямая DE пересекает ее в точке F.

∠FAC=∠ECA (накрест лежащие при AF||BС)

∠AMF=∠CME (вертикальные)

△AMF=△CME (по стороне и прилежащим углам)

=> AF=CE

△BDE~△ADF (по накрест лежащим при AF||BС)

△BDE - р/б (BD=BE) => △ADF -р/б, AF=AD

=> AD=AF=CE

Или по т Менелая (BD/BE=1, AM/MC=1)

BD/DA *AM/MC *CE/EB =1 => BD/EB *CE/DA =1 => CE/DA =1

Answer 2

Давайте рассмотрим треугольник ABC и прямую l, проходящую через середину стороны AC и пересекающую стороны BA и BC в точках D и E соответственно. Задано, что BD = BE.

Мы знаем, что прямая, проходящая через середину стороны треугольника и параллельная одной из сторон, делит другую сторону пополам. Таким образом, точки D и E делят стороны BA и BC пополам. Мы можем обозначить середины сторон следующим образом:

Пусть M - середина стороны BA, и N - середина стороны BC.

Теперь у нас есть два треугольника: BMD и BEN. Из условия BD = BE следует, что эти треугольники равны по стороне (по стороне BM), по стороне (по стороне MD = NE) и углу между этими сторонами (по условию прямой l, которая параллельна сторонам треугольника).

Теперь обратим внимание на треугольники ABD и CBE. У нас есть следующее:

1. Сторона AB (половина стороны AC) равна стороне BC (половина стороны AC). 2. Сторона BD равна стороне BE (по условию). 3. Сторона AD и CE - это оставшиеся части сторон AB и BC соответственно.

Из этих данных следует, что треугольники ABD и CBE равны по трём сторонам, так как у них равны две стороны и угол между ними. По свойству равных треугольников мы можем сделать вывод, что соответствующие углы этих треугольников равны.

Таким образом, у нас есть равенство углов:

\(\angle ABD = \angle CBE\)

Теперь рассмотрим треугольники ABD и CBE по отдельности:

В треугольнике ABD:

\(\angle ABD + \angle ADB + \angle BAD = 180^\circ\)

В треугольнике CBE:

\(\angle CBE + \angle CEB + \angle BCE = 180^\circ\)

Так как \(\angle ABD = \angle CBE\), мы можем выразить угол BCE через угол ADB:

\(\angle ADB + \angle ABD + \angle BAD = \angle CEB + \angle CBE + \angle BCE\)

\(\angle ADB + 180^\circ = \angle CEB + 180^\circ\)

\(\angle ADB = \angle CEB\)

Таким образом, у нас есть равенство углов \(\angle ADB = \angle CEB\).

Теперь рассмотрим треугольники ADB и CEB:

\(\angle ADB = \angle CEB\) (как мы только что установили) \(BD = BE\) (по условию)

Теперь мы можем использовать угловое равенство и равенство сторон для утверждения о равенстве других сторон треугольников. Специфически, мы видим, что треугольники ADB и CEB подобны (по углу-сторона-уголу).

Поскольку эти треугольники подобны, мы можем использовать соответствующие отношения сторон:

\(\frac{AD}{CE} = \frac{BD}{BE}\)

Но у нас дано, что \(BD = BE\), следовательно:

\(\frac{AD}{CE} = 1\)

Отсюда следует, что \(AD = CE\).

Таким образом, мы доказали, что если \(BD = BE\), то \(AD = CE\).