Question

Знайди кут між векторами, якщо їхні модулі дорівнюють 4 і 3√3, а їхній скалярний добуток дорівнюе: а)18б)-6√6​

Answer 1

Косинус угла между векторами равен скалярному их произведению, делённому на произведение их модулей.

а) cos α = 18/(4*3√3) = 18/(12√3) = 3/(2√3) = √3/2.

Угол α равен arccos(√3/2) = (π/6)+2πn

Главное значение равно 30 градусам.

б) cos α = (-6√6)/(4*3√3) = (-6√2*√3)/(12√3) = -√2/2.

Угол α равен arccos(-√2/2) = (3π/4)+2πn.

Главное значение равно 135 градусам.

Answer 2

Для знаходження кута між двома векторами можна скористатися формулою для скалярного добутку векторів:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos{\theta}, \]

де \(\mathbf{a}\) та \(\mathbf{b}\) - це вектори, \(|\mathbf{a}|\) та \(|\mathbf{b}|\) - їхні модулі, а \(\theta\) - кут між ними.

Задано, що модулі векторів дорівнюють 4 і \(3\sqrt{3}\):

\[ |\mathbf{a}| = 4, \] \[ |\mathbf{b}| = 3\sqrt{3}. \]

Також задано значення скалярного добутку:

а) \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 18, \)

б) \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -6\sqrt{6}. \)

За формулою скалярного добутку, ми можемо записати:

\[ 18 = 4 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos{\theta} \]

або

\[ -6\sqrt{6} = 4 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos{\theta}. \]

Розв'язавши ці рівняння, ми отримаємо значення кута \(\theta\). Обчислення дають:

а) \[ \cos{\theta} = \frac{18}{4 \cdot 3\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}. \] Звідси отримуємо, що \(\theta = 30^\circ\).

б) \[ \cos{\theta} = \frac{-6\sqrt{6}}{4 \cdot 3\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = -\sqrt{2}. \] Звідси отримуємо, що \(\theta = 135^\circ\).

Отже, кути між векторами у випадках (а) та (б) дорівнюють відповідно 30° та 135°.