Question

Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Высота пирамиды проходит через точку B. Грани ABC и ABS равновелики. На рёбрах BS, AS и CA отмечены точки K, L и M соответственно, так, что SK:KB=2:3, SL:LA=2:3, CM:MA=2:3. А) Докажите, что плоскость KLM наклонена к плоскости основания пирамиды под углом 45°. Б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью KLM, если площадь грани ABS равна 25.

Answer 1

Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Высота пирамиды проходит через точку B. Грани ABC и ABS равновелики. На рёбрах BS, AS и CA отмечены точки K, L и M соответственно, так, что SK:KB=2:3, SL:LA=2:3, CM:MA=2:3.А) Докажите, что плоскость KLM наклонена к плоскости основания пирамиды под углом 45° ; Б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью KLM, если площадь грани ABS равна 25.

Решение  

А) 1)По условию площади прямоугольных треугольников с общим основанием АВ равны :   S(ABC)=S(ABS) ⇒ равны их высоты .

2)Пусть LH∥SB ⇒LH⟂(ABC) ⇒LH⟂HC ⇒  ΔLHO- прямоугольный.

Проведем КР∥SC , тогда по т. Фалеса ВР:РС=3:2 ⇒ РМ∥АВ

(для ∠АСВ имеет быть  ВР:РС=3:2 и АМ:МС=3:2 ) .

Тк  SK:KB=2:3 и  SL:LA=2:3 ⇒ KL∥АВ.

Получаем LH=3/5*SB ,HO=3/5*CH , но SB=CH см. пункт 1 ⇒ LH=HO ⇒  

ΔLHO-прямоугольный и равнобедренный ⇒ ∠L=∠LOH=45° .

3) Угол ∠LOH-является углом между (КLM) и (ABC) т.к. МР , линия пересечения этих плоскостей,  перпендикулярна НО ( СН⟂АВ, АВ∥МР)  и LO (по т. о 3-х перпендикулярах)

Б) Сечением пирамиды плоскостью (КLM) является параллелограмм  , тк 2-е стороны равны и параллельны :

a) РМ∥АВ и KL∥АВ ⇒ KL∥МР;  б) LK=2/5*AB и  MР=2/5*АВ.

S(паралл.)=a*h=MP*LO, по условию  S(ABS) =25.

$\displaystyle \frac{1}{2}$*AB*BS=25  ⇒   $\displaystyle AB=\frac{50}{BS}$  ,  высота BS=CH , $\displaystyle AB=\frac{50}{CH}$.

МР:АВ=2:5 ,     $\displaystyle MP=\frac{50}{CH} *\frac{2}{5} =\frac{20}{CH}$  

Из ΔLHO,  по т Пифагора , $\displaystyle LO=\sqrt{(LH^{2}+HO^{2} } )=\sqrt{((\frac{3}{5}SB)^{2}+(\frac{3}{5}CH)^{2}} )$, CH=SB ⇒         $\displaystyle LO=\sqrt{((\frac{3}{5}CH)^{2}+(\frac{3}{5}CH)^{2}} )=\frac{3}{5} *CH*\sqrt{2}$

S(МLКР)=MP*LO=$\displaystyle \frac{20}{CH} *\frac{3}{5} *CH*\sqrt{2} =12\sqrt{2}$

Answer 2

Введение

В данном вопросе рассматривается пирамида SABC, где треугольник ABC является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине C, а высота пирамиды проходит через точку B. Грани ABC и ABS равновелики. На ребрах BS, AS и CA отмечены точки K, L и M соответственно, так, что отношения SK:KB, SL:LA и CM:MA равны 2:3.

А) Доказательство наклона плоскости KLM к плоскости основания пирамиды

Для доказательства наклона плоскости KLM к плоскости основания пирамиды под углом 45°, мы можем использовать геометрические свойства данной конструкции.

Шаг 1: Доказательство равенства углов

Для начала, докажем, что углы SKB и SLA равны. Рассмотрим треугольники SKB и SLA:

- У нас есть отношение SK:KB = 2:3 и SL:LA = 2:3. - Используя свойство пропорциональности, мы можем сказать, что отношение углов SKB и SLA также равно 2:3.

Таким образом, углы SKB и SLA равны.

Шаг 2: Доказательство равенства углов KLB и KMA

Теперь, чтобы доказать, что углы KLB и KMA также равны, рассмотрим треугольники KLB и KMA:

- Мы уже знаем, что углы SKB и SLA равны. - Также, у нас есть отношение SK:KB = 2:3 и SL:LA = 2:3. - Используя свойство пропорциональности, мы можем сказать, что отношение углов KLB и KMA также равно 2:3.

Таким образом, углы KLB и KMA равны.

Шаг 3: Доказательство наклона плоскости KLM

Теперь, чтобы доказать наклон плоскости KLM к плоскости основания пирамиды под углом 45°, рассмотрим треугольник KLM:

- У нас есть равные углы KLB и KMA. - Мы также знаем, что треугольник ABC является прямоугольным треугольником, поэтому угол BAC равен 90°. - Таким образом, у нас есть две пары равных углов в треугольнике KLM (KLB и KMA, а также BAC и KLB). - Согласно свойству параллельных линий, если две пары углов в двух разных треугольниках равны, то плоскости, которыми эти треугольники лежат, наклонены друг к другу под равными углами. - Таким образом, плоскость KLM наклонена к плоскости основания пирамиды под углом 45°.

Б) Нахождение площади сечения пирамиды плоскостью KLM

Для нахождения площади сечения пирамиды плоскостью KLM, нам необходимо знать площадь грани ABS. По условию, площадь грани ABS равна 25.

Для нахождения площади сечения пирамиды плоскостью KLM, мы можем использовать пропорциональность площадей подобных фигур.

Шаг 1: Нахождение отношений длин отрезков

- У нас есть отношение SK:KB = 2:3, SL:LA = 2:3 и CM:MA = 2:3. - Таким образом, длины отрезков SK, KB, SL, LA, CM и MA также имеют отношение 2:3.

Шаг 2: Нахождение площади сечения пирамиды

- Площадь сечения пирамиды плоскостью KLM можно выразить как произведение площади грани ABS и отношения площадей треугольников KLB и KMA к грани ABS. - Так как у нас уже есть отношение длин отрезков SK, KB, SL, LA, CM и MA, мы можем использовать это отношение для нахождения отношения площадей треугольников. - Отношение площадей треугольников KLB и KMA к грани ABS также будет равно 2:3. - Таким образом, площадь сечения пирамиды плоскостью KLM будет равна (2/3) * 25 = 50/3.

Таким образом, площадь сечения пирамиды плоскостью KLM равна 50/3.