Question

Ребро SA тетраэдра SABC перпендикулярно плоскости треугольника ABC (∠ ACB = 90°), в котором AC = BC = 7 см (см. рис.). tetraedr.png а) Укажите, какой угол будет двугранным углом между плоскостями ABC и SBC, и докажите это (20 баллов). б) Найдите градусную меру данного угла, если SB = 7 корней из 5(16 баллов).

Answer 1

а)Так как SA⊥(ACB), АС- проекция наклонной  SC на плоскость АВС, и по условию АС⊥СВ, то по теореме о трех перпендикулярах SC⊥СВ, то ∠SCA-линейный угол двугранного угла между плоскостями ABC и SBC.

б) из прямоугольного треугольника SAB (∠SAB=90°) найдем

SA=√(SB²-AB²), АВ=√(7²+7²)=7√2; ⇒SA=√((7√5)²-(7√2)²)=7√3; из ΔSAC

tg∠SCA=SA/AC=7√3/7=√3⇒∠SCA=60°

Answer 2

Ответ:

а) Чтобы найти угол между плоскостями ABC и SBC, мы можем использовать нормали к этим плоскостям. Нормаль к плоскости ABC это векторное произведение векторов AB и AC. Нормаль к плоскости SBC это векторное произведение векторов SB и SC.

Для начала, найдем векторы AB, AC, SB и SC. Поскольку AC = BC = 7 см, вектор AB будет равен нулю, так как A и B совпадают. Вектор AC будет равен вектору CB, поскольку это вектор, который указывает от C к A. Вектор SB будет равен нулю, так как S и B совпадают. Вектор SC будет равен вектору CB, так как это вектор, который указывает от C к S.

Теперь найдем нормали к плоскостям ABC и SBC, используя векторное произведение. Нормаль к плоскости ABC это векторное произведение AB и AC, а нормаль к плоскости SBC это векторное произведение SB и SC.

AB × AC = 0 × AC = 0

SB × SC = 0 × SC = 0

Так как оба векторных произведения равны нулю, это означает, что нормали к плоскостям ABC и SBC коллинеарны, то есть они лежат на одной прямой. Следовательно, угол между этими плоскостями является прямым углом.

б) Чтобы найти градусную меру данного угла, мы можем использовать скалярное произведение нормалей к плоскостям ABC и SBC. Поскольку нормали коллинеарны, скалярное произведение нормалей будет равно произведению их длин, умноженному на косинус угла между ними.

Длина нормали к плоскости ABC это длина вектора AB × AC, и она равна нулю. Длина нормали к плоскости SBC это длина вектора SB × SC, и она также равна нулю. Поэтому скалярное произведение нормалей равно нулю.

Скалярное произведение нормалей равно произведению длин нормалей на косинус угла между ними:

AB × AC · SB × SC = |AB × AC| · |SB × SC| · cos(угол)

Поскольку длины нормалей равны нулю, угол между плоскостями ABC и SBC может быть любым.

Таким образом, градусная мера данного угла не определена.