Question

Докажите, что n³ - n делится на 3 при любом натуральном n.

Answer 1

Ответ:

n^3+3n^2+5n+3=n(n^2+3n+2)+3n+3=n(n+1)(n+2)+3(n+1)

Объяснение:

Из любых трех последовательных чисел n, n+1, n+2 одно всегда делится на 3, значит и их произведение n(n+1)(n+2) тоже делится на 3. 3(n+1) очевидно, делится на 3. Значит и вся сумма тоже делится на 3.

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

Разложим: n³–n=n•(n²–1)=n•(n–1)•(n+1)=(n–1)•n•(n+1)

По условию n-нечетное число, то есть n=2•m+1, m=0, 1, 2, …. Тогда

(n–1)= 2•m и (n+1)= 2•m+2=2•(m+1) чётные числа.

Пусть (n–1) делится на 4. Так как (n+1) делится на 2 как чётное число, то их произведение (n–1)•(n+1) делится 8 (=4•2).

Пусть (n–1) не делится на 4, то из представления (n–1)=2•m заключаем, что (n–1) делится на 2 и m нечётное число. Тогда из представления (n+1)=2•(m+1) имеем, что (m+1) чётное число, а следовательно (n+1)=2•(m+1) делится на 4.  

Значит произведение (n–1)•(n+1) делится 8.  

Как известно, при делении натурального числа на 3 получаем остаток 0, 1 или 2. В произведении (n–1)•n•(n+1) участвуют три последовательные числа, то есть возрастают на единицу. Поэтому, при делении этого произведения получим один из наборов остатка: 0, 1, 2 или 1, 2, 0 или 2, 0, 1. Отсюда следует, что при делении на 3 остаток от деления одного из множителей равен 0, которое означает, что этот множитель делится на 3.

Итак, мы доказали, что n³–n делится на 8 и 3. Так как (наибольший общий делитель) НОД(8; 3)=1, то n³–n делится на 24 (=8•3).

Answer 3

Для доказательства, что n³ - n делится на 3 при любом натуральном n, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Базовый шаг:

Для n = 1, мы имеем 1³ - 1 = 1 - 1 = 0, что делится на 3.

Предположение индукции:

Предположим, что для некоторого k натурального числа выполняется утверждение: k³ - k делится на 3.

Шаг индукции:

Докажем, что утверждение также выполняется для (k + 1).

Рассмотрим выражение (k + 1)³ - (k + 1): (k + 1)³ - (k + 1) = k³ + 3k² + 3k + 1 - k - 1 = k³ - k + 3k² + 3k

Мы знаем, что k³ - k делится на 3 (согласно предположению индукции). Также, 3k² + 3k является произведением 3 на некоторое целое число, и, следовательно, также делится на 3.

Таким образом, (k + 1)³ - (k + 1) делится на 3.

Заключение:

Мы доказали, что для любого натурального числа n, n³ - n делится на 3. Это доказательство было выполнено с использованием метода математической индукции.