Question

У середині трикутника ABC обрано т. М,так що площі трикутників AMB,BMC,AMC рівні.Доведіть що М-точка перетину медіан трикутника АВС.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

У середині трикутника ABC обрано т. М,так що площі трикутників AMB,BMC,AMC рівні.Доведіть що М-точка перетину медіан трикутника АВС.

Answer 2

Для доведення, що точка \( M \) є точкою перетину медіан трикутника \( ABC \), давайте розглянемо основні властивості медіан та зробимо деякі розрахунки.

Нехай \( M \) - це точка, яка розділяє медіани трикутника \( ABC \) на дві частини, при цьому площі трикутників \( AMB, BMC \) та \( AMC \) є рівними.

Означимо точки \( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) \) та \( C(x_3, y_3) \). Тоді координати точки \( M \) будуть середніми значеннями координат точок \( A, B \) та \( C \).

Координати точки \( M \) обчислюються за формулами: \[ M(x_m, y_m) = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \]

Тепер розглянемо медіани трикутника \( ABC \). Медіана трикутника, проведена з вершини \( A \) до середини сторони \( BC \), має координати \( \left(\frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2}\right) \). Аналогічно, медіана, проведена з вершини \( B \) до середини сторони \( AC \), має координати \( \left(\frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2}\right) \), а медіана з вершини \( C \) до середини сторони \( AB \) має координати \( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \).

Ми бачимо, що це саме координати точки \( M \), тобто координати точки \( M \) співпадають з координатами точки перетину медіан трикутника \( ABC \).

Отже, точка \( M \) є точкою перетину медіан трикутника \( ABC \).