Question

Через вершину прямого угла C треугольника ABC с катетами 12 и 16 к его плоскости проведен перпендикуляр KC, равный 24. CM – медиана данного треугольника. Найдите KM.

Answer 1

Ответ:

КМ=26ед

Объяснение:

∆АВС- прямоугольный треугольник

Теорема Пифагора

АВ=√(АС²+СВ²)=√(12²+16²)=√(144+256)=

=√400=20 ед

СМ=АВ/2=20/2=10ед

∆КСМ- прямоугольный треугольник

Теорема Пифагора

КМ=√(КС²+СМ²)=√(24²+10²)=√(576+100)=

=√676=26ед

Answer 2

Для решения этой задачи давайте воспользуемся свойствами прямоугольных треугольников и медиан.

Из условия мы знаем, что в треугольнике \(ABC\) у нас прямой угол в вершине \(C\) и катеты \(AC = 12\) и \(BC = 16\). Также дано, что \(KC\) является перпендикуляром к плоскости треугольника и равен \(24\).

Сначала найдем площадь треугольника \(ABC\). Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле \(S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\). В данном случае, площадь треугольника \(ABC\) равна:

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 96\]

Теперь воспользуемся формулой для нахождения медианы \(CM\) в прямоугольном треугольнике. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит эту гипотенузу на две равные части. Таким образом:

\[CM = \frac{1}{2} \times \sqrt{2 \times AC^2 + 2 \times BC^2 - AB^2}\]

где \(AB\) - гипотенуза треугольника \(ABC\).

По теореме Пифагора \(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}\):

\[AB = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\]

Теперь подставим значение \(AB\) в формулу для \(CM\):

\[CM = \frac{1}{2} \times \sqrt{2 \times 12^2 + 2 \times 16^2 - 20^2} = \frac{1}{2} \times \sqrt{2 \times 144 + 2 \times 256 - 400} = \frac{1}{2} \times \sqrt{288 + 512 - 400} = \frac{1}{2} \times \sqrt{400} = \frac{1}{2} \times 20 = 10\]

Таким образом, мы нашли длину медианы \(CM\) и знаем, что \(CM = 10\).

Теперь нам нужно найти длину отрезка \(KM\), который является половиной медианы \(CM\). Так как \(CM\) является медианой, то \(KM\) также равен \(CM\) в данном случае, то есть \(KM = 10\).