Question

98 баллов. Первая прямая проходит через точки A=(-13;-6) и B=(-5;-8). Вторая прямая проходит через точки C=(11;-2) и D=(18;-4). Найдите координаты точки пересечения этих прямых. Ответ запишите в виде "(12;-34)". Без пробелов и через точку с запятой​

Answer 1

Ответ:

(-82; 291)

Объяснение:

Пусть прямая $a_1x+b_1y=c_1$ проходит через точки $A(-13, -6)$ и $B(-5; -8)$, тогда имеем систему уравнений:

$\left \{ {{-13a_1-6b_1=c_1} \atop {-5a_1-8b_1=c_1}} \right \rightarrow \left \{ {{52a_1+24b_1=-4c_1} \atop {15a_1+24b_1=-3c_1}} \right \rightarrow \left \{ {{c=-37a_1} \atop {-5a_1-8b_1=c_1}} \right \rightarrow \left \{ {{c_1=-37a_1} \atop {-5a_1-8b_1=-37a_1}} \right \rightarrow$

$\rightarrow 4a_1=b_1 \rightarrow a_1=1, b_1=4, c_1=-37, x+4y=-37$

Аналогично прямой $a_2x+b_2y=c_2$ предположим, что она проходит через точки $C(11, -2)$ и $D(18; -4)$, составим систему:

$\left \{ {{11a_2-2b_2=c_2} \atop {18a_2-4b_2=c_2}} \right \rightarrow \left \{ {{22a_2-4b_2=2c_2} \atop {18a_2-4b_2=c_2}} \right \rightarrow \left \{ {{4a_1=c_2} \atop {18a_2-4b_2=c_2}} \right \rightarrow \left \{ {{4a_1=c_2} \atop {7a_2-2b_2=0}} \right \rightarrow$

$\rightarrow a_1=2, b_2=7, c_2=8 \rightarrow 2x+7y=8$

Для того чтобы найти точку пресечения прямых составляем систему

$\left \{ {{x+4y=-37} \atop {2x+7y=8}}, \right \rightarrow \left \{ {{2x+8y=-74} \atop {2x+7y=8}}, \rightarrow y=-82, x=291.$

Таким образом имеем точку пересечения (-82; 291)

Answer 2

Координаты точки пересечения прямых можно найти, используя уравнения прямых, представленные в общем виде y = kx + b, где k - это коэффициент наклона прямой, а b - свободный член уравнения.

Для начала, найдем уравнения прямых, проходящих через точки A и B, а также через точки C и D.

1. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A и B: Для этого найдем сначала коэффициент наклона (k) прямой через A и B: \[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] \[ k = \frac{-8 - (-6)}{-5 - (-13)} = \frac{-8 + 6}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} \]

Теперь, используя любую из точек (допустим, A(-13;-6)), найдем свободный член (b): \[ y = kx + b \] \[ -6 = -\frac{1}{4} \cdot (-13) + b \] \[ -6 = \frac{13}{4} + b \] \[ b = -\frac{24}{4} - \frac{13}{4} = -\frac{37}{4} \]

Уравнение прямой через A и B: \[ y = -\frac{1}{4}x - \frac{37}{4} \]

2. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки C и D: Как и выше, найдем сначала коэффициент наклона (k) прямой через C и D: \[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] \[ k = \frac{-4 - (-2)}{18 - 11} = \frac{-4 + 2}{7} = \frac{-2}{7} \]

Теперь, используя любую из точек (допустим, C(11;-2)), найдем свободный член (b): \[ y = kx + b \] \[ -2 = -\frac{2}{7} \cdot 11 + b \] \[ -2 = -\frac{22}{7} + b \] \[ b = -\frac{14}{7} - \frac{22}{7} = -\frac{36}{7} \]

Уравнение прямой через C и D: \[ y = -\frac{2}{7}x - \frac{36}{7} \]

Теперь найдем координаты точки пересечения этих прямых, решив систему уравнений:

\[ \begin{cases} y = -\frac{1}{4}x - \frac{37}{4} \\ y = -\frac{2}{7}x - \frac{36}{7} \end{cases} \]

Из этой системы можно выразить x:

\[ -\frac{1}{4}x - \frac{37}{4} = -\frac{2}{7}x - \frac{36}{7} \]

Переносим все x-термы влево, числовые значения вправо и решаем уравнение:

\[ -\frac{1}{4}x + \frac{2}{7}x = -\frac{37}{4} + \frac{36}{7} \] \[ -\frac{7}{28}x + \frac{8}{28}x = -\frac{259}{28} + \frac{144}{28} \] \[ \frac{1}{28}x = -\frac{115}{28} \]

Теперь найдем x:

\[ x = -115 \]

Подставим найденное значение x в любое из уравнений, чтобы найти y:

\[ y = -\frac{1}{4}x - \frac{37}{4} \] \[ y = -\frac{1}{4} \cdot (-115) - \frac{37}{4} \] \[ y = 28 - \frac{37}{4} \] \[ y = -\frac{9}{4} \]

Таким образом, координаты точки пересечения этих прямых: (-115, -9), что записано в виде (-115;-9).