Question

AK, BM, CP – высоты равнобедренного треугольника ABC. Площадь треугольника KPM равна 12, cos ∠ABC = 0,6. Найдите площадь треугольника ABC.

Answer 1

cos(ABC)>0 => △ABC - остроугольный

Отрезок AC виден из точек P и K под прямым углом

=> APKC - вписанный => ∠BPK=∠BCA => PK антипараллельна AC

Аналогично KM и MP.

(Доказали: стороны остроугольного треугольника антипараллельны сторонам ортотреугольника.)

=> △ABC~△KBP~△AMP~△KMC

cos(ABC) =BP/BC =6/10 =3/5

BP=3x, BC=5x, AP=2x

CP=√(BC^2-BP^2)=4x

AC=√(AP^2+CP^2)=√(4+16)x =2√5x

BM - высота и медиана, AM=AC/2=√5x

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.

S(KBP)/S(ABC) =(BP/AB)^2 =(3/5)^2 =9/25

S(AMP)/S(ABC) =(AM/AB)^2 =(√5/5)^2 =5/25

Понятно, что △AMP=△KMC

S(KMP) =S(ABC)-S(KBP)-2(AMP) =(25-9-10)/25 S(ABC) =6/25 S(ABC) =12

=> S(ABC) =12*25/6 =50

Answer 2

Давайте рассмотрим треугольник ABC, в котором AK, BM и CP - высоты. Треугольник ABC является равнобедренным, поэтому допустим, что AC = BC.

Пусть h - высота треугольника ABC из вершины A, тогда площадь треугольника ABC можно выразить как S_ABC = (1/2) * AC * h.

Теперь давайте рассмотрим треугольники AKP, BMP и CPK:

1. В треугольнике AKP: \( S_{AKP} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot KP \)

2. В треугольнике BMP: \( S_{BMP} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot MP \)

3. В треугольнике CPK: \( S_{CPK} = \frac{1}{2} \cdot CP \cdot PK \)

Так как треугольник ABC равнобедренный, то AC = BC, следовательно, KP = MP.

Также, с учетом равенства высот в равнобедренном треугольнике, AK = BM = CP.

Теперь мы можем выразить площадь треугольника KPM:

\[ S_{KPM} = S_{AKP} + S_{BMP} + S_{CPK} \]

\[ S_{KPM} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot KP + \frac{1}{2} \cdot BM \cdot MP + \frac{1}{2} \cdot CP \cdot PK \]

\[ S_{KPM} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot MP \left( 1 + 1 + \frac{CP}{AK} \right) \]

\[ S_{KPM} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot MP \left( 2 + \frac{CP}{AK} \right) \]

Так как AK = BM = CP, то \( \frac{CP}{AK} = 1 \), и мы можем упростить:

\[ S_{KPM} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot MP \cdot 3 \]

Теперь нам дано, что площадь треугольника KPM равна 12:

\[ S_{KPM} = 12 \]

\[ \frac{1}{2} \cdot AK \cdot MP \cdot 3 = 12 \]

\[ AK \cdot MP = 8 \]

Также, у нас есть информация о cos(∠ABC):

\[ \cos(\angle ABC) = 0.6 \]

Так как треугольник ABC равнобедренный, то ∠ABC = ∠BCA. Также, cos(∠BCA) = cos(∠ABC). Поскольку AC = BC, то ∠ABC = ∠BCA, и cos(∠ABC) = cos(∠BCA).

Теперь мы можем использовать тригонометрическое соотношение:

\[ \cos(\angle ABC) = \frac{AC}{BC} \]

\[ 0.6 = \frac{AC}{BC} \]

\[ BC = \frac{AC}{0.6} \]

Так как AC = BC, то:

\[ BC = \frac{BC}{0.6} \]

\[ 0.6 \cdot BC = BC \]

\[ BC = \frac{1}{0.6} \]

\[ BC = \frac{5}{3} \]

Теперь у нас есть значение BC, и мы можем использовать его для нахождения площади треугольника ABC:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h \]

Мы также знаем, что \( h = BC \cdot \sqrt{1 - \cos^2(\angle ABC)} \) (теорема Пифагора).

\[ h = \frac{5}{3} \cdot \sqrt{1 - 0.6^2} \]

\[ h = \frac{5}{3} \cdot \sqrt{1 - 0.36} \]

\[ h = \frac{5}{3} \cdot \sqrt{0.64} \]

\[ h = \frac{5}{3} \cdot 0.8 \]

\[ h = \frac{4}{3} \]

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника ABC:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h \]

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{4}{3} \]

\[ S_{ABC} = \frac{5}{9} \cdot 4 \]

\[ S_{ABC} = \frac{20}{9} \]

Итак, площадь треугольника ABC равна \( \frac{20}{9} \).