Question

547. Найдите углы треугольника с вершинами в точках А(-1; ), в(1; -), с (0,5; ). ​

Answer 1

Для каждой вершины надо определить векторы сторон и их модули.

Угол А: векторы АВ и АС.

АВ = (1-(-1); -√3-√3)) = (2; -2√3), модуль равен √(4 + 12) = 4.

АС = (0,5-(-1); √3-√3) = (1,5; 0), модуль равен 1,5.

cos A = (2*1.5+( -2√3)*0)/(4*1.5) = 3/6 = 1/2.

Угол А = arccos(1/2) = 60 градусов.

Аналогично определяются другие углы.

Координаты векторов сторон      

АВ                         BC (a)                AС (b)  

x y                       x y                     x      y

2   -3,4641       -0,5    3,4641         1,5     0

Длины сторон  АВ (с) = √(4+ 12) = √16 = 4

                          BC (а) =  √(0,25+ 12) = √12,25 = 3,5

                          AC (b) = √(2,2+ 0) = √2,25 = 1,5.

Углы по векторам      

cos A = (3+ 0)/ 6 = 0,5.

А = 1,0472     60 градусов

cos B = (1 +12)/ 14 = 0,9286.

В =  0,3803       21,7868 градуса

cos C = (-0,75 + 0)/  5,25 =  -0,14286  

С = 1,71414    98,2132 градуса.

Можно проверить по теореме косинусов:

cos B = (a^2+c^2-b^2)/(2ac) =   26/ 28 = 0,928571429  

B = arccos 0,9286 = 0,38025 радиан 21,7868 градуса/

cos C = (a^2+b^2-c^2)/(2ab)=   -1,5/ 10,5 = -0,142857143  

C = arccos -0,14286 = 1,714144 радиан 98,2132 градуса

Answer 2

Чтобы найти углы треугольника с вершинами в заданных точках, давайте воспользуемся формулами для вычисления углов в треугольнике. Предположим, что A(-1, -1), B(1, -1), и C(0.5, y) — вершины треугольника.

1. Вычислим длины сторон треугольника:

Сторона AB: \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \] \[ AB = \sqrt{(1 - (-1))^2 + ((-1) - (-1))^2} \] \[ AB = \sqrt{2^2 + 0^2} \] \[ AB = \sqrt{4} = 2 \]

Сторона BC: \[ BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} \] \[ BC = \sqrt{(0.5 - 1)^2 + (y - (-1))^2} \] \[ BC = \sqrt{(-0.5)^2 + (y + 1)^2} \]

Сторона AC: \[ AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} \] \[ AC = \sqrt{(0.5 - (-1))^2 + (y - (-1))^2} \] \[ AC = \sqrt{1.5^2 + (y + 1)^2} \]

2. Затем, с использованием закона косинусов, найдем углы:

Угол A: \[ \cos A = \frac{BC^2 + AC^2 - AB^2}{2 \cdot BC \cdot AC} \] \[ \cos A = \frac{(-0.5)^2 + (y + 1)^2 + 1.5^2 + (y + 1)^2 - 4}{2 \cdot \sqrt{(-0.5)^2 + (y + 1)^2} \cdot \sqrt{1.5^2 + (y + 1)^2}} \]

Угол B: \[ \cos B = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} \] \[ \cos B = \frac{2^2 + 1.5^2 + (y + 1)^2 - (-0.5)^2 - (y + 1)^2}{2 \cdot 2 \cdot \sqrt{1.5^2 + (y + 1)^2}} \]

Угол C: \[ \cos C = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} \] \[ \cos C = \frac{2^2 + (-0.5)^2 + (y + 1)^2 - 1.5^2 - (y + 1)^2}{2 \cdot 2 \cdot \sqrt{(-0.5)^2 + (y + 1)^2}} \]

3. Решив эти уравнения, вы сможете найти значения углов A, B и C. Например, используя функцию арккосинуса:

\[ A = \arccos(\cos A) \] \[ B = \arccos(\cos B) \] \[ C = \arccos(\cos C) \]

Пожалуйста, замените y в уравнениях на координату y точки C (в данном случае, 0.5), и решите уравнения для нахождения конкретных значений углов треугольника.