Question

Вершины B и D треугольников ABC и ADC лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС, АВ = ВС, AD = DC. Точка К лежит на луче BD так, что точка D лежит между точками B и K. Докажите, что треугольники ADK и СDK равны.

Answer 1

Ответ:

Рассмотрим ΔABD и ΔCBD:

• АВ = ВС по условию,
• AD = DC по условию,
• BD - общая сторона, значит

ΔABD = ΔCBD по трем сторонам.

• В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы,

значит ∠ABO = ∠CBO, т.е.

ВО - биссектриса равнобедренного треугольника АВС.

• В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Значит, АО = СО и ВО ⊥ АС. Из этого следует, что

прямая BD - серединный перпендикуляр к отрезку АС.

• Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.

Точка К лежит на прямой BD, значит КА = КС.

Рассмотрим ΔADK и ΔCDK:

• AD = CD - по условию,
• КА = КС (доказано выше),
• DK - общая сторона, значит

ΔADK = ΔCDK по трем сторонам.

Answer 2

Для доказательства равенства треугольников ADK и CDK, мы можем использовать метод сравнения по двум сторонам и углу между ними. В данном случае, мы можем сравнить стороны AK и CK, стороны AD и CD, а также угол DAK и угол DCK.

По условию задачи, вершины B и D треугольников ABC и ADC лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC, AB = BC, AD = DC. Также, точка К лежит на луче BD так, что точка D лежит между точками B и K.

Сравнение сторон

1. Сторона AK и сторона CK: Так как точка D лежит между точками B и K, то сторона AK не может быть больше стороны CK, и наоборот. Следовательно, AK = CK.

2. Сторона AD и сторона CD: По условию AD = DC, следовательно, AD = CD.

Сравнение углов

Угол DAK и угол DCK: Так как точка D лежит между точками B и K, угол DAK и угол DCK образованы одной и той же прямой DK. Поэтому угол DAK = угол DCK.

Вывод

Мы доказали, что треугольники ADK и CDK имеют равные стороны и равные углы, поэтому они равны друг другу по двум сторонам и углу между ними.