Question

основа прямого паралелепіпеда – ромб зі стороною 6 см і тупим кутом 120°. більша діагональ паралелепіпеда нахилена до площини основи під кутом 60°. знайдіть об'єм паралелепіпеда​

Answer 1

Ответ:

324√3 см³

Объяснение:

Диагонали ромба пересекаются перпендикулярно и точкой пересечения делятся пополам.

Диагонали ромба являются биссектриссами углов.

<АВО=<АВС/2=120/2=60°

∆АВО- прямоугольный треугольник

sin<ABO=AO/AB

sin60°=√3/2

√3/2=AO/6

AO=6√3/2=3√3см

АС=2*АО=2*3√3=6√3см.

∆А1АС- прямоугольный треугольник

tg<A1CA=AA1/AC

tg60°=√3

√3=AA1/6√3

AA1=6√3*√3=6*3=18см

Sосн=АВ²*sin<ABC=6²*√3/2=18√3 см²

V=Sосн*АА1=18√3*18=324√3 см³

Answer 2

Для знаходження об'єму прямокутного паралелепіпеда необхідно помножити його довжину, ширину та висоту.

Знаходження довжини:

У нашому випадку, сторона ромба, яка є основою паралелепіпеда, має довжину 6 см. Так як ромб є рівнобедреним, то його сторона є діагоналлю основи паралелепіпеда. Для знаходження довжини сторони ромба можна скористатися формулою: $$a = \frac{d}{\sqrt{2}}$$ де $a$ - довжина сторони ромба, $d$ - довжина діагоналі ромба.

В нашому випадку, діагональ ромба має довжину 6 см, тому: $$a = \frac{6}{\sqrt{2}}$$

Знаходження висоти:

Висота паралелепіпеда - це відстань між площиною основи та протилежною площиною паралелепіпеда. Знаходження висоти можна розбити на два етапи: 1. Знаходження висоти прямокутного трикутника, утвореного однією з діагоналей паралелепіпеда та його основою. 2. Знаходження висоти паралелепіпеда, використовуючи висоту прямокутного трикутника та кут нахилу більшої діагоналі паралелепіпеда до площини основи.

# Знаходження висоти прямокутного трикутника:

В нашому випадку, більша діагональ паралелепіпеда є діагоналлю ромба, яка утворює прямокутний трикутник з основою паралелепіпеда. Для знаходження висоти прямокутного трикутника можна використати формулу площі прямокутного трикутника: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$$ де $S$ - площа прямокутного трикутника, $a$ та $b$ - довжини його катетів.

В нашому випадку, довжина одного катета прямокутного трикутника дорівнює довжині сторони ромба (6 см), а другий катет - це висота прямокутного трикутника. Тому: $$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h$$ де $h$ - висота прямокутного трикутника.

# Знаходження висоти паралелепіпеда:

Знаходимо висоту паралелепіпеда, використовуючи відому висоту прямокутного трикутника та кут нахилу більшої діагоналі паралелепіпеда до площини основи. Для цього можна використати формулу: $$h_{\text{паралелепіпеда}} = h_{\text{трикутника}} \cdot \cos(\alpha)$$ де $h_{\text{паралелепіпеда}}$ - висота паралелепіпеда, $h_{\text{трикутника}}$ - висота прямокутного трикутника, $\alpha$ - кут нахилу більшої діагоналі паралелепіпеда до площини основи.

В нашому випадку, висота прямокутного трикутника дорівнює половині довжини сторони ромба (так як це прямокутний трикутник) і дорівнює: $$h_{\text{трикутника}} = \frac{6}{2} = 3\ \text{см}$$ А кут нахилу більшої діагоналі паралелепіпеда до площини основи дорівнює 60°.

Тому, застосовуючи формулу, отримаємо: $$h_{\text{паралелепіпеда}} = 3 \cdot \cos(60°)$$

Знаходження об'єму:

Тепер, коли у нас є довжина, ширина та висота, ми можемо знайти об'єм паралелепіпеда, використовуючи формулу: $$V = a \cdot b \cdot h_{\text{паралелепіпеда}}$$

Підставляючи відомі значення, отримаємо: $$V = \frac{6}{\sqrt{2}} \cdot 6 \cdot 3 \cdot \cos(60°)$$

Вираз можна спростити: $$V = 18 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(60°)$$

Обчислення косинуса 60° дає нам значення $\frac{1}{2}$, тому: $$V = 18 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}$$

Після спрощення, отримаємо: $$V = 9\sqrt{2}\ \text{см}^3$$

Таким чином, об'єм паралелепіпеда дорівнює $9\sqrt{2}\ \text{см}^3$.