Question

50 БАЛЛОВ ПОМОГИТЕ Напиши уравнение прямой ax+by+c=0, все точки которой находятся на равных расстояниях от точек A(2;1) и B(9;9). (В первое окошко пиши положительное число. Числа в ответе сокращать не нужно!) __⋅x+__⋅y+__=0

Answer 1

Ответ:

14у + 12х -139 = 0

Пошаговое объяснение:

Сначала прямая L₁ через точки A(1;3) и B(7;10).

Каноническое уравнение прямой:

\begin{gathered}\displaystyle \frac{x-x_A}{x_B-x_A} =\frac{y-y_A}{y_B-y_A}\\\\\\\frac{x-1}{7-1} =\frac{y-3}{10-3} ; \qquad \boldsymbol{\frac{x-1}{6} =\frac{y-3}{7}}\end{gathered}

x

B

−x

A

x−x

A

=

y

B

−y

A

y−y

A

7−1

x−1

=

10−3

y−3

;

6

x−1

=

7

y−3

Мы получили каноническое уравнение прямой L₁, проходящей через точки A(1;3) и B(7;10).

Но нам понадобится уравнение прямой с угловым коэффициентом, потому что дальше мы будем писать уравнение прямой L₂, перпендикулярной к L₁.

Итак, уравнение прямой L₁ с угловым коэффициентом

\displaystyle 7(x-1) = 6(y-3) \quad \Rightarrow \quad \boldsymbol {y=\frac{7}{6}x +\frac{11}{6} }7(x−1)=6(y−3)⇒y=

6

7

x+

6

11

Теперь, если мы через середину отрезка АВ проведем прямую L₂ , перпендикулярную к прямой L₁, то все точки этой прямой L₂ будут находиться на равных расстояниях от точек A(1;3) и B(7;10).

Итак, середина отрезка АВ

\begin{gathered}\displaystyle x_C=\frac{x_A+x_B}{2} =\frac{1+7}{2} =4\\\\\\y_C = \frac{y_A+y_B}{2} =\frac{3+10}{2} =6.5\\\\\end{gathered}

x

C

=

2

x

A

+x

B

=

2

1+7

=4

y

C

=

2

y

A

+y

B

=

2

3+10

=6.5

- середина отрезка АВ - это точка С(4; 6,5)

Теперь прямая, проходящая через точку С(4; 6,5) перпендикулярно прямой L₁ \displaystyle y=\frac{7}{6}x +\frac{11}{6}y=

6

7

x+

6

11

.

Если прямые у₁ = k₁x+b₁ и y₂ = k₂x+b₂ перпендикулярны, то их угловые коэффициенты связаны формулой \displaystyle k_2=-\frac{1}{k_1}k

2

=−

k

1

1

.

Следовательно мы можем написать уравнение прямой L₂, проходящей через точку С(4; 6,5) перпендикулярно прямой L₁.

Угловой коэффициент искомой прямой L₂ равен

\displaystyle k_2=-\frac{1}{k_1}= -\frac{1}{k_1} = -\frac{1}{7/6} =-\frac{6}{7}k

2

=−

k

1

1

=−

k

1

1

=−

7/6

1

=−

7

6

И чтобы эта прямая прошла через точку С(4; 6,5), подставим координаты точки в уравнение прямой и найдем b.

\begin{gathered}\displaystyle 6.5 = -\frac{6}{7} *4+b;\\\\b = 6\frac{1}{2} +\frac{24}{7} =\frac{13}{2} +\frac{24}{7} = \frac{139}{14}\end{gathered}

6.5=−

7

6

∗4+b;

b=6

2

1

+

7

24

=

2

13

+

7

24

=

14

139

Вот, наконец, мы получили уравнение прямой, все точки которой находятся на равных расстояниях от точек A(1;3) и B(7;10). Но получили мы его в виде уравнения с угловым коэффициентом.

\displaystyle y =-\frac{6}{7} x+\frac{139}{14}y=−

7

6

x+

14

139

Теперь представим это уравнение прямой в общем виде

\begin{gathered}\displaystyle y =-\frac{6}{7} x+\frac{139}{14};\\\\\\y+\frac{6}{7} x-\frac{139}{14}=0;\\\\14y+12x-139=0\end{gathered}

y=−

7

6

x+

14

139

;

y+

7

6

x−

14

139

=0;

14y+12x−139=0

Проверим на координатной плоскости (см рисунок)

ответ

уравнение прямой, все точки которой находятся на равных расстояниях от точек A(1;3) и B(7;10) имеет вид 14у + 12х -139 = 0

Answer 2

Для того чтобы найти уравнение прямой, все точки которой находятся на равном расстоянии от точек A(2;1) и B(9;9), мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками и свойство равенства расстояний.

Находим расстояние между точками A и B

Для начала, найдем расстояние между точками A и B. Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в двумерном пространстве:

d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A и B соответственно.

Подставляя значения точек A(2;1) и B(9;9), мы получим:

d = sqrt((9 - 2)^2 + (9 - 1)^2) = sqrt(49 + 64) = sqrt(113)

Используем свойство равенства расстояний

Уравнение прямой, все точки которой находятся на равном расстоянии от точек A и B, будет иметь следующий вид:

sqrt((x - 2)^2 + (y - 1)^2) = sqrt((x - 9)^2 + (y - 9)^2)

Раскрываем квадраты и упрощаем уравнение

Для удобства расчетов, мы можем возвести оба выражения в квадрат:

(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (x - 9)^2 + (y - 9)^2

Раскрываем скобки и упрощаем:

x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = x^2 - 18x + 81 + y^2 - 18y + 81

Упрощаем дальше, вычитая общие слагаемые:

-4x + 4 - 2y + 1 = -18x + 81 - 18y + 81

-4x - 2y + 5 = -18x - 18y + 162

Приводим подобные члены в уравнении

Для того чтобы привести подобные члены в уравнении, мы можем перенести все переменные на одну сторону уравнения:

-4x + 18x - 2y + 18y = 162 - 5

14x + 16y = 157

Ответ

Таким образом, уравнение прямой, все точки которой находятся на равном расстоянии от точек A(2;1) и B(9;9), будет иметь вид:

14x + 16y = 157