Question

Геометрия 11 клас Дано срезанный конус, радиусы оснований которого 8 см и 12 см. Найдите косинус угла наклона образующей к плоскости нижнего основания, если в осевое сечение можно вписать круг.

Answer 1

Ответ:

cos<CDH=1/5

Объяснение:

OC=r=8см

О1D=R=12см

HD=О1D-OC=12-8=4см

ВС=2*ОС=2*8=16см диаметр верхнего основания

АD=2*O1D=2*12=24см диаметр нижнего основания.

ABCD- сечение, представляет собой трапецию.

Если в трапецию вписали окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон.

АВ+CD=BC+AD

AB=CD

CD=(BC+AD)/2=(16+24)/2=40/2=20см.

cos<CDH=HD/CD

cos<CDH=4/20=1/5

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическими свойствами конуса.

Обозначим \( r_1 \) и \( r_2 \) радиусы верхнего и нижнего оснований соответственно. В данной задаче \( r_1 = 8 \, \text{см} \) и \( r_2 = 12 \, \text{см} \).

Также воспользуемся тем фактом, что если в осевое сечение конуса можно вписать круг, то образующая конуса перпендикулярна к оси конуса (оси симметрии).

Пусть \( l \) - образующая конуса, \( h \) - высота конуса. Тогда по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном радиусом основания и образующей, имеем:

\[ l^2 = r_2^2 + h^2 \]

Из теоремы о подобии треугольников мы можем записать отношение радиусов верхнего и нижнего оснований конуса к его образующей:

\[ \frac{r_1}{r_2} = \frac{h}{l} \]

Теперь, найдем косинус угла \( \theta \) наклона образующей к плоскости нижнего основания. Косинус угла \( \theta \) определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике:

\[ \cos(\theta) = \frac{h}{l} \]

Используя равенство \( \frac{r_1}{r_2} = \frac{h}{l} \), мы можем выразить \( h \) через \( r_1 \) и \( r_2 \):

\[ h = \frac{r_1}{r_2} \cdot l \]

Подставим это в формулу для косинуса угла \( \theta \):

\[ \cos(\theta) = \frac{h}{l} = \frac{r_1}{r_2} \]

Теперь можем подставить известные значения и решить задачу:

\[ \cos(\theta) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \]

Таким образом, косинус угла наклона образующей к плоскости нижнего основания равен \( \frac{2}{3} \).