Question

Окружность, проходящая через вершины А и С треугольника АВС, пересекает его стороны АВ и ВС соответственно в точках М и К. Известно, что AM : BM = 3 : 1, BK : CK = 1 : 8. Найдите АК : СM.

Answer 1

Поскольку $AK = 2R\sin \angle C$ и $CM = 2R\sin \angle A$, то $AK:CM = \dfrac{\sin \angle C}{\sin \angle A}$.

Поскольку $\angle A = 180^{\circ}-\angle MKC = \angle MKB$ и $\angle C = 180^{\circ}- \angle AMK = \angle KMB$, то $AK:CM = \dfrac{\sin \angle C}{\sin \angle A} = \dfrac{\sin \angle KMB}{\sin \angle MKB} = \dfrac{KB}{MB}$, что следует из теоремы синусов для треугольника $MKB$. С другой стороны, $BM\cdot BA = BK\cdot BC$ (этот инвариант называется степенью точки $B$, а равенство устанавливается из подобия $\triangle MBK \sim \triangle ABC$ по двум указанным выше углам), следовательно, $BM\cdot\underbrace{4BM}_{BA = BM+MA = BM+3BM} = BK\cdot \underbrace{9BK}_{BC = BK+KC = BK+8BK}$, откуда $4BM^2 = 9BK^2 \Rightarrow \dfrac{KB}{MB} = 2/3$, то есть $AK:CM = 2:3$.

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся свойством подобных треугольников и делением отрезков в пропорциях.

Обозначим длину стороны треугольника AB через a, стороны BC - b, и стороны AC - c. Также, пусть точки M и K разделяют стороны AB и BC соответственно в отношении m:n и k:l. Тогда AM:MB = 3:1 и BK:KC = 1:8.

Поскольку треугольники AMK и BKC подобны (по признаку AA), отношение длин их сторон равно отношению соответствующих сторон треугольников:

\[ \frac{AK}{BK} = \frac{AM}{BC} \]

Также, по аналогии для треугольников CMA и BKA:

\[ \frac{CK}{BK} = \frac{AC}{AM} \]

У нас есть следующие данные:

\[ \frac{AM}{MB} = 3:1 \] \[ \frac{BK}{CK} = 1:8 \]

Мы можем выразить AM и BK через эти отношения:

\[ AM = \frac{3}{4} \cdot a \] \[ BK = \frac{1}{9} \cdot b \]

Теперь можем подставить это в уравнения для отношений сторон:

\[ \frac{AK}{\frac{1}{9} \cdot b} = \frac{\frac{3}{4} \cdot a}{c} \]

\[ \frac{CK}{\frac{1}{9} \cdot b} = \frac{c}{\frac{3}{4} \cdot a} \]

Решив эти уравнения относительно AK и CK, мы найдем их отношение:

\[ AK = \frac{1}{3} \cdot b \] \[ CK = \frac{8}{3} \cdot b \]

Теперь найдем отношение AK к CK:

\[ \frac{AK}{CK} = \frac{\frac{1}{3} \cdot b}{\frac{8}{3} \cdot b} = \frac{1}{8} \]

Таким образом, отношение AK к CK равно 1:8.