Question

Діагоналі чотирикутника АВCD, вписаного в коло, перетинаються у точці М, а прямі АВ i CD перетинаються у точці N. Bідомо, що АMD=108°, AND=24°. Знайдіть кути АBD i BDC. Пожалуйста срочно ​

Answer 1

Ответ:

66° и 42°

Объяснение:

Дано: Окр.О;

АВСD - вписанный четырехугольник;

АС ∩ BD = M; AB ∩ BC = N;

∠АMD = 108°; ∠AND = 24°.

Найти: ∠АBD и ∠BDC.

Решение:

1.

• Угол между пересекающимися хордами окружности равен полусумме двух противоположных дуг, высекаемых этими хордами.

⇒

$\displaystyle \angle{AMD}= \frac{1}{2} (\smile {BC}+\smile{AD})\\\\108^0=\frac{1}{2} (\smile {BC}+\smile{AD})\\\\\smile {BC}+\smile{AD}=216^0$(1)

• Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.

⇒

$\displaystyle \angle{AND}=\frac{1}{2}(\smile {AD}-\smile {BC})\\\\24^0= \frac{1}{2}(\smile {AD}-\smile {BC})\\\\48^0=\smile {AD}-\smile {BC}$(2)

Из (2) выразим дугу  AD и подставим в (1):

$\displaystyle \smile {AD}=48^0+\smile {BC}\\\\216^0=48^0+\smile {BC}+\smile {BC}\\\\2\smile {BC}=216^0-48^0\\\\\smile {BC}=84^0\\\\\smile {AD}=48^0+84^0=132^0$

2. Теперь можем найти искомые углы.

• Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

⇒

$\displaystyle \angle {ABD}=\frac{1}{2}\smile {AD}=\frac{1}{2}*132=66^0\\\\\angle {BDC}=\frac{1}{2}\smile {BC}=\frac{1}{2}*84^0=42^0$

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі, спочатку звернемо увагу на властивість, що діагоналі чотирикутника, вписаного в коло, перетинаються у точці, яка є центром цього кола. Тому точка М є центром кола, вписаного в чотирикутник ABCD.

За властивостями вписаного чотирикутника, кут AMD дорівнює половині центрального кута, який відповідає дуги BC кола. Тобто, кут AMD = 1/2 * міра дуги BC.

Міра дуги BC може бути знайдена за допомогою теореми про міри кутів на колі. Оскільки кут AND = 24°, то кут AMD = 108°, отже, міра дуги BC = 2 * кут AMD = 2 * 108° = 216°.

Так як кут AMD дорівнює половині центрального кута, який відповідає дуги BC, то кут ABD дорівнює половині міри дуги BC. Тобто, кут ABD = 1/2 * міра дуги BC = 1/2 * 216° = 108°.

Тепер, маючи кут ABD, можемо знайти кут BDC. За властивостями кутів на колі, кут BDC дорівнює половині міри дуги AD. Міра дуги AD може бути знайдена за допомогою віднімання мір дуги AMD і міри дуги BC. Тобто, міра дуги AD = міра дуги AMD - міра дуги BC = 108° - 216° = -108°.

Оскільки міра дуги AD виходить від'ємною, то її можна замінити на додатковий кут на колі, який дорівнює 360° + міра дуги AD. Тому, міра дуги AD = 360° - 108° = 252°.

Таким чином, кут BDC дорівнює половині міри дуги AD, тобто, кут BDC = 1/2 * міра дуги AD = 1/2 * 252° = 126°.

Отже, кути ABD і BDC дорівнюють 108° і 126° відповідно.