Question

Найдите все точки плоскости 2x + 3y -z +6 =0 равноудаленных от координатных плоскостей

Answer 1

Найти все точки плоскости 2x + 3y - z + 6 =0, равноудаленные от координатных плоскостей.

Координатные плоскости, проходящие через пары координатных осей, разбивают пространство на 8 октантов.

Точки, равноудаленные от координатных плоскостей, лежат на прямых, проходящих через начало координат и направляющий вектор которых имеет равные величины модулей координат по осям.

Таких прямых всего 4, проходящих по диагонали через 2 октанта.

Примем единичные знамения модуля координат по осям.

1) Для I и VII октантов – (1; 1; 1),

2) для III и V октантов – (1; 1; -1),

3) для IV и VI октантов – (1; -1; 1),

4) для II и VIII октантов – (1; -1; -1).

Составим параметрические уравнения такой прямой:

1) (x/1) = (y/1) = (z/1) = t.

Отсюда имеем  x = y = z = t.

Подставим в уравнение плоскости.

2t + 3t - t + 6 =0, 4t = -6, t = -6/4 = -3/2.

Получаем первую точку А((-3/2); (-3/2); (-3/2)).

2) 1) (x/1) = (y/1) = (z/(-1)) = t.

Отсюда имеем  x = y = t, z = -t

Подставим в уравнение плоскости.

2t + 3t – (-t) + 6 =0, 6t = -6, t = -6/6 = -1.

Получаем вторую точку В(-1; -1; 1).

3) 1) (x/1) = (y/(-1)) = (z/1) = t.

Отсюда имеем  x = z = t. y = -t.

Подставим в уравнение плоскости.

2t + 3(-t) - t + 6 =0, -2t = -6, t = -6/(-2) = 3.

Получаем третью точку С(3; (-3); 3).

4) 1) (x/1) = (y/1) = (z/1) = t.

Отсюда имеем  x = t. y = z = -t.

Подставим в уравнение плоскости.

2t + 3(-t) – (-t) + 6 =0, 0t = -6, t = 0.

Эта прямая не пересекает плоскость – она параллельна ей.

Для этого варианта прилагается рисунок для наглядности.

Answer 2

Для начала, найдем расстояние от произвольной точки (x, y, z) до плоскости x = 0. Расстояние между точкой и плоскостью можно найти как модуль разности координат z:

d1 = |z|

Аналогично, найдем расстояние от точки (x, y, z) до плоскости y = 0:

d2 = |z - 6|

Теперь, найдем точки, для которых d1 = d2:

|z| = |z - 6|

Разделим это уравнение на два случая:

1) z ≥ 0: z = z - 6

Решая это уравнение, получаем z = 3. Тогда координаты точки равноудаленной от координатных плоскостей будут (x, y, z) = (0, 0, 3).

2) z < 0: -z = z - 6

Решая это уравнение, получаем z = -3. Тогда координаты точки равноудаленной от координатных плоскостей будут (x, y, z) = (0, 0, -3).

Итак, получаем две точки плоскости, которые равноудалены от координатных плоскостей: (0, 0, 3) и (0, 0, -3).