Question

Сфера, радиус которой 30, проходит через вершины А и S правильной четырёхугольной пирамиды SABCD и делит ребро SC в отношении 1:7, считая от вершины S. Боковое ребро пирамиды 60. Высота SH пирамиды равна: Выберите один ответ. а)45, b)32,с)50, d)35​

Answer 1

Вершины A и S - это концы бокового ребра AS.

Значит, центр сферы, радиус которой 30 и проходит через вершины А и S, находится в середине ребра AS.

Так как точки A, S и C лежат в одной плоскости (это диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды SABCD), то точка Е на ребре SC лежит на окружности радиуса 30.

Получаем прямоугольный треугольник ASE.

sin(SAE) = 7,5/60 = 1/8.

По свойству углов прямоугольного треугольника cos(ASE) = sin(SAE)

Высота SH делит угол ASE пополам.

Используем формулу половинного угла.

соs(АSН) = √((1-(1/8)/2) = √(9/16) = 3/4.

Отсюда находим высоту пирамиды.

SH = AS*cos(ASH) = 60*(3/4) = 45.

Ответ: высота SH пирамиды равна 45.

Answer 2

Для решения данной задачи, нам понадобится применить теорему Пифагора и сформулировать пропорцию.

Обозначим радиус сферы как R, длину бокового ребра пирамиды как a, длину ребра SC как b, и высоту пирамиды как h.

Известно, что радиус сферы проходит через вершины А и S пирамиды. Это означает, что AS является диаметром сферы. Также известно, что радиус сферы делит ребро SC в отношении 1:7.

Таким образом, можно записать следующее соотношение:

AS : SC = 1 : 7

Заметим, что AS = 2R, а SC = a. Подставим эти значения в пропорцию:

2R : a = 1 : 7

Далее, известно, что боковое ребро пирамиды равно 60, то есть a = 60. Подставим это значение в пропорцию:

2R : 60 = 1 : 7

Упростим пропорцию, умножив обе части на 60:

2R = 60/7

Решим это уравнение относительно R:

R = (60/7) / 2

R = 30/7

Таким образом, радиус сферы равен 30/7.

Далее, нам нужно найти высоту пирамиды. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник SHC, где HC - высота пирамиды.

Известно, что боковое ребро пирамиды равно 60, а радиус сферы равен 30/7. Тогда, по теореме Пифагора, можем записать следующее:

HC^2 + (30/7)^2 = 60^2

HC^2 = 60^2 - (30/7)^2

HC^2 = 3600 - 900/49

HC^2 = (176400 - 900) / 49

HC^2 = 175500 / 49

HC^2 = 3571.43

HC ≈ √3571.43

HC ≈ 59.77

Таким образом, высота пирамиды равна примерно 59.77.

Ответ: d) 35