Question

Отрезок AB длины 16 см пересекает плоскость α в точке O. Расстояние от концов отрезка до плоскости α соответственно равны 3 см и 5 см. Найди острый угол, который образует отрезок AB с плоскостью α.

Answer 1

Ответ:

Угол между отрезком и плоскостью равен 30°.

Объяснение:

• Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости.

Проведем перпендикуляры АН и ВК к плоскости α.

АН = 3 см, ВК = 5 см

АН║ВК как перпендикуляры к одной плоскости.

Две параллельные прямые задают плоскость, которая пересекает плоскость α по прямой КН. Так как отрезок АВ лежит в этой плоскости, то точки К, О и Н лежат на одной прямой.

ОК - проекция ВО на плоскость α, значит ∠ВОК - искомый угол между отрезком АВ и плоскостью α.

ΔАНО ~ ΔВКО по двум углам:

∠АНО = ∠ВКО = 90°, углы при вершине О равны как вертикальные.

Из подобия треугольников следует, что

$\dfrac{AO}{BO}=\dfrac{AH}{BK}$

Обозначим АО = х, тогда ВО = 16 - х.

$\dfrac{x}{16-x}=\dfrac{3}{5}$

5x = 3(16 - x)

5x = 48 - 3x

8x = 48

x = 6

АО = 6 см

ВО = 16 - 6 = 10 см

ΔВКО:  ∠ВКО = 90°,

$\sin\angle BOK=\dfrac{BK}{BO}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$

∠ВОК = 30°

Answer 2

Введение

Для решения данной задачи необходимо использовать геометрические свойства отрезков и плоскостей. Острый угол, который образует отрезок AB с плоскостью α, можно найти, используя теорему косинусов.

Решение

1. Найдем длину отрезка OB, который является проекцией отрезка AB на плоскость α. Для этого вычтем из длины отрезка AB расстояние от конца отрезка A до плоскости α. В нашем случае это 3 см.

Длина отрезка OB = длина отрезка AB - расстояние от конца отрезка A до плоскости α = 16 см - 3 см = 13 см.

2. Найдем длину отрезка OA, который является проекцией