Question

Помогите пожалуйста!!точки k и n середины сторон CD и BC соответственно квадрата ABCD со стороной а.Найдите значение скалярного произведения: 1)AB*DC, 2)AD*CB, 3)BC*DC, 4)AC*DC, 5)AC*DC, 6)AC*CD, 7)AC*BD, 8) AK*AN, 9)(AB+AD)(CD-CB)

Answer 1

1)  $(AB*DC)=|AB|*|DC|cos0=a^2$
2)  $(AD*CB)=|AD|*|CB|cos180=-a^2$
3)  $(BC*DC)=|BC|*|DC|cos90=0$
4=5) $(AC*DC)=|AC|*|DC|cos45=a \sqrt{2}*a *\frac{ \sqrt{2} }{2}=a^2$
6)  $(AC*CD)=|AC|*|CD|cos135=a \sqrt{2}*a *(-\frac{ \sqrt{2} }{2})=-a^2$
7)  $(AC*BD)=|AC|*|BD|cos90=0$
8)  $(AK*AN)=|AK|*|AN|cos(AK,AN)$
     $AK= \sqrt{a^2+ \frac{a^2}{4} } = \frac{a \sqrt{5} }{2}$
     $AN=AK=\frac{a \sqrt{5} }{2}$
     $(AK,AN)=KAN=90-2*KAD$
     $cos(AK,AN)=cosKAN=cos(90-2*KAD)=sin(2*KAD)=$
     $=2sin(KAD)*cos(KAD)=2*\frac{KD}{AK}*\frac{AD}{AK}=2*\frac{2a}{2a\sqrt{5}}*\frac{2a}{a\sqrt{5}}= \frac{1}{5}$
     $(AK*AN)= \frac{a \sqrt{5} }{2}* \frac{a \sqrt{5} }{2}* \frac{1}{5}= \frac{a^2}{4}.$
9)  $AB+AD=AC;CD-CB=BD;$
      $((AB+AD)*(CD-CB))=(AC*BD)=|AC|*|BD|cos90=0$