Question

3.32. Докажите, что биссектрисы острых углов прямиоугольного треугольника пересекаются под углом 45.​

Answer 1

Ответ:

Пусть АВС - прямоугольный, а АВ - гипотенуза. Биссектрисы AD и ВЕ пересекаются в точке К. Биссектриса делит угол пополам. Сумма острых углов треугольника равна 90 градусов, поэтому сумма их половин - 45 градусов. Следовательно в треугольнике АКВ угол при вершине К равен 180 - 45 = 135 градусов, а острый угол при пересечении биссектрис 180 - 135 = 45 градусов.

Answer 2

Для доказательства этого факта, давайте представим прямоугольный треугольник ABC, где угол B является прямым углом. Пусть AD и CE будут биссектрисами углов A и C соответственно, пересекающимися в точке O.

Так как AD является биссектрисой угла A, то угол BAD равен углу CAD. Точно так же, угол CBE равен углу BCE.

Теперь, поскольку угол B прямой, то угол BAD + угол CBE = 90 градусов. Но так как угол BAD равен углу CAD, то угол CAD + угол CBE = 90 градусов.

Таким образом, угол ACO равен углу BCO, что означает, что биссектрисы углов A и C пересекаются под углом 45 градусов.

Таким образом, мы доказали, что биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника пересекаются под углом 45 градусов.