Question

Докажите, что если один из углов прямоугольного треуголь- ника равен 30°, то катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы.​

Answer 1

Відповідь:

Пусть в прямоугольном треугольнике АВС угол А=30°, угол С=90°. Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°, поэтому угол В=90°-30°=60°

Проведем из прямого угла отрезок СМ так, что угол МСВ=60°.

Тогда в ∆ ВСМ угол СМВ=180°-угол АСВ-угол МВС=180°-2•60°=60°. Углы ∆ВСМ равны, это треугольник равносторонний по определению. ВС=ВМ=СМ.

 В ∆ АСМ угол АСМ=90°-60°=30°. Т.к. углы при основании АС равны, то ∆ АМС - равнобедренный по определению, АМ=СМ.

Но СМ=ВМ => АМ=ВМ=ВС. =>

АВ=2ВС, , т.е. катет ВС, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы, что и требовалось доказать.

Пояснення:

Answer 2

Ответ:

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то

∠B=90º-∠A=90º-30º=60º.

Построим треугольник ADC, равный треугольнику ABC.

В нем ∠D=∠B=60º и ∠CAD=∠CAB=30º ( по построению).

Отсюда, ∠BAD=∠CAD+∠CAB=60º.

Следовательно, в треугольнике ABD все углы равны:

∠BAD=∠D=∠B=60º.

Значит, треугольник ABC — равносторонний, и все его стороны равны: AB=AD=BD.

BC=DC (по построению), поэтому

Answer 3

Для доказательства этого утверждения мы можем использовать определение тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике.

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике у нас есть три основные тригонометрические функции: синус (sin), косинус (cos) и тангенс (tan).

1. Синус угла: Отношение длины противоположенного катета к длине гипотенузы. 2. Косинус угла: Отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы. 3. Тангенс угла: Отношение длины противоположенного катета к длине прилежащего катета.

Доказательство:

Дано: Один из углов прямоугольного треугольника равен 30°.

Пусть в прямоугольном треугольнике угол A равен 30°. Тогда согласно свойствам прямоугольного треугольника, мы знаем, что противоположный катет (противолежащий углу A) соответствует стороне, противолежащей углу A, а гипотенуза – это самая длинная сторона прямоугольного треугольника.

Теперь мы можем использовать тригонометрические функции для угла 30°:

1. Синус угла 30°: sin(30°) = противоположенный катет / гипотенуза 2. Косинус угла 30°: cos(30°) = прилежащий катет / гипотенуза 3. Тангенс угла 30°: tan(30°) = противоположенный катет / прилежащий катет

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике с углом 30°, синус угла 30° равен 1/2 (поскольку sin(30°) = 1/2), и гипотенуза равна 1.

Из уравнения синуса угла мы можем выразить противоположенный катет:

противоположенный катет = sin(30°) * гипотенуза = (1/2) * 1 = 1/2.

Таким образом, мы доказали, что если один из углов прямоугольного треугольника равен 30°, то катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы.