Question

ПОМОГИТЕ ОЧЕНЬ СРОЧНО!!! Доведи другу формулу Ейлера: ОІ² = R² – 2Rr.!!

Answer 1

Ответ:

Ну пять звёзды поставиш пж

Answer 2

Формула Эйлера, которую вы упомянули, связана с треугольником и его вписанной окружностью. Давайте разберемся подробнее.

Определение

Формула Эйлера устанавливает связь между радиусом описанной окружности R, радиусом вписанной окружности r и длинами сторон треугольника. Формула записывается следующим образом:

О² = R² – 2Rr

Где: - O - отрезок, соединяющий центр описанной окружности с вершиной треугольника - R - радиус описанной окружности - r - радиус вписанной окружности

Доказательство

Докажем формулу Эйлера.

Для начала, вспомним некоторые свойства треугольника, связанные с описанной и вписанной окружностями.

1. Перпендикуляр из центра описанной окружности к одной из сторон треугольника делит эту сторону пополам.

2. Радиус вписанной окружности является перпендикуляром к стороне треугольника, проведенному из центра вписанной окружности.

3. Отрезок, соединяющий центр описанной окружности с вершиной треугольника, является радиусом описанной окружности.

Теперь, с помощью этих свойств, мы можем доказать формулу Эйлера.

# Доказательство формулы Эйлера:

Пусть треугольник имеет стороны a, b и c. Рассмотрим каждую сторону отдельно.

1. Сторона a: - По свойству 1, отрезок, соединяющий центр описанной окружности с вершиной треугольника, делит сторону a пополам. Таким образом, мы получаем два отрезка длиной a/2. - По свойству 3, один из этих отрезков является радиусом описанной окружности и имеет длину R. - Остается другой отрезок длиной a/2, который является оставшейся частью стороны a. - Таким образом, мы можем записать соотношение a = (a/2) + (a/2) = R + (a/2).

2. Сторона b: - Аналогично, мы можем записать соотношение b = R + (b/2).

3. Сторона c: - Сторона c разбивается на две части, аналогично сторонам a и b. Таким образом, мы можем записать соотношение c = R + (c/2).

Теперь сложим все полученные выражения:

a + b + c = (R + (a/2)) + (R + (b/2)) + (R + (c/2))

Упрощая это выражение, мы получаем:

a + b + c = 3R + (a/2) + (b/2) + (c/2)

a + b + c = 3R + (a + b + c)/2

Умножим обе части уравнения на 2:

2(a + b + c) = 6R + a + b + c

a + b + c = 6R + a + b + c

Упрощая это выражение, мы получаем:

0 = 6R

6R = 0

Разделим обе части уравнения на 6:

R = 0

Таким образом, мы получили противоречие. Это означает, что предположение о том, что R = 0, неверно.

Отсюда следует, что R ≠ 0.

Теперь мы можем упростить уравнение, избавившись от нуля:

2(a + b + c) = 6R

a + b + c = 3R

Теперь мы можем использовать формулу для выражения R через радиус вписанной окружности r:

A = rs

Где A - площадь треугольника, r - радиус вписанной окружности, s - полупериметр треугольника.

Площадь треугольника A можно выразить через длины его сторон a, b и c с помощью формулы Герона:

A = √(s(s-a)(s-b)(s-c))

где s = (a + b + c)/2 - полупериметр треугольника.

Теперь заменим A в формуле:

√(s(s-a)(s-b)(s-c)) = rs

Возводим обе части уравнения в квадрат:

s(s-a)(s-b)(s-c) = r²s²

Разделим обе части уравнения на s:

(s-a)(s-b)(s-c) = r²s

Раскроем скобки:

s³ - s²(a + b + c) + s(ab + ac + bc) - abc = r²s

Заменим a + b + c на 3R:

s³ - s²(3R) + s(ab + ac + bc) - abc = r²s

Теперь заменим s на (a + b + c)/2:

((a + b + c)/2)³ - ((a + b + c)/2)²(3R) + ((a + b + c)/2)(ab + ac + bc) - abc = r²((a + b + c)/2)

Упростим это выражение:

(a + b + c)³/8 - (a + b + c)²(3R)/4 + (a + b + c)(ab + ac + bc)/2 - abc = r²(a + b + c)/2

Разделим обе части уравнения на (a + b + c)/2:

(a + b + c)²/4 - (a + b + c)(3R)/2 + (ab + ac + bc) - 2abc/(a + b + c) = r²

Упростим это выражение:

(a + b + c)²/4 - (a + b + c)(3R)/2 + (ab + ac + bc) - 2abc/(a + b + c) = r²

Разделим обе части уравнения на 4:

(a + b + c)²/16 - (a + b + c)(3R)/8 + (ab + ac + bc)/4 - abc/(2(a + b + c)) = r²/4

Умножим обе части уравнения на 16:

(a + b + c)² - 4(a + b + c)(3R) + 4(ab + ac + bc) - 8abc/(a + b + c) = 4r²

(a + b + c)² - 12(a + b + c)R + 4(ab + ac + bc) - 8abc/(a + b + c) = 4r²

Раскроем скобки:

a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc - 12(a + b + c)R + 4ab + 4ac + 4bc - 8abc/(a + b + c) = 4r²

Упростим это выражение:

a² + b² + c² + 4ab + 4ac + 4bc - 12(a + b + c)R - 8abc/(a + b + c) =