Question

4.21. Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках: 1) A(-3; -1), B(1; -1); C(1; -3), D(-3; -3); 2) A(4; 1), B(3; 5), C(-1; 4), D(0; 0) является прямоугольником.​

Answer 1

Ответ: 1) доказано, смотрите в объяснениях; 2) доказано, смотрите в объяснениях.

Объяснение:

Нахождение расстояния отрезка по заданным координатам его концов:

Пусть A (x₁;y₁), B (x₂;y₂)

Тогда $\bf AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

********************

1)

• Если у четырёхугольника противоположные стороны равны, то данный четырёхугольник параллелограмм.

Перед нами четырёхугольник ABCD.

Найдём длины его сторон по формуле расстояния отрезка, по заданным координатам его концов:

$AB = \sqrt{(1+3)^2 + (-1+1)^2} = \sqrt{4^2} = \sqrt{16} = 4$

$CD = \sqrt{(-3-1)^2+(-3+3)^2 } = \sqrt{(-4)^2} =\sqrt{16} = 4$

$BC = \sqrt{(1-1)^2+(-3+1)^2} =\sqrt{(-2)^2} =\sqrt{4}=2$

$AD = \sqrt{(-3+3)^2+(-3+1)^2} =\sqrt{(-2)^2} =\sqrt{4} =2$

Итак, AB = CD, BC = AD и данные равные стороны противоположны, а значит данный четырёхугольник - параллелограмм.

• Если в параллелограмме диагонали равны, то данный параллелограмм - прямоугольник.

Найдём длины диагональ данного параллелограмма:

$AC = \sqrt{(1+3)^2+(-3+1)^2} = \sqrt{4^2+(-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}= 2\sqrt{5}$

$BD = \sqrt{(-3-1)^2 +(-3+1)^2}= \sqrt{(-4)^2+(-2)^2} = \sqrt{16 + 4} =\sqrt{20}=2 \sqrt{5}$

Итак, AC = BD ⇒ ABCD - прямоугольник.

ч.т.д.

Также со 2):

2)

Найдём длины сторон данного четырёхугольника:

$AB = \sqrt{(3-4)^2+(5-1)^2} = \sqrt{(-1)^2+4^2} = \sqrt{1+16} = \sqrt{17}$

$CD = \sqrt{(0+1)^2+(0-4)^2} = \sqrt{1^2+ (-4)^2} = \sqrt{1+16} =\sqrt{17}$

$BC = \sqrt{(-1-3)^2+(4-5)^2} = \sqrt{(-4)^2+(-1)^2} = \sqrt{16 +1} = \sqrt{17}$

$AD = \sqrt{(0-4)^2+(0-1)^2} = \sqrt{(-4)^2+(-1)^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$

Итак, AB = CD и BC = AD и данные стороны противоположны, а значит данный четырёхугольник - параллелограмм (также данный четырёхугольник является ромбом, так как всего стороны равны)

Найдём длины его диагоналей:

$AC = \sqrt{(-1-4)^2+(4-1)^2} = \sqrt{(-5)^2+3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$

$BD = \sqrt{(0-3)^2+(0-5)^2} = \sqrt{(-3)^2+(-5)^2} = \sqrt{9+25} = \sqrt{34}$

Итак, AC = BD ⇒ ABCD - прямоугольник.

ч.т.д.

Answer 2

Доказательство, что четырехугольник ABCD является прямоугольником:

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, мы должны показать, что его стороны перпендикулярны друг другу.

Для первого случая, где вершины четырехугольника ABCD имеют координаты A(-3, -1), B(1, -1), C(1, -3), D(-3, -3), мы можем вычислить длины сторон и проверить, являются ли они перпендикулярными.

Длина сторон AB, BC, CD и DA вычисляется следующим образом:

AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((1 - (-3))^2 + (-1 - (-1))^2) = √(4^2 + 0^2) = √16 = 4

BC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((1 - 1)^2 + (-3 - (-1))^2) = √(0^2 + (-2)^2) = √4 = 2

CD = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((-3 - 1)^2 + (-3 - (-3))^2) = √((-4)^2 + 0^2) = √16 = 4

DA = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((-3 - (-3))^2 + (-1 - (-3))^2