Question

Площадь прямоугольника равна 9 кв.ед. Найти стороны прямоугольника, при которых его периметр будет наименьшим.

Answer 1

Ответ:

Обозначим длины сторон данного прямоугольника через х и у.

Согласно условию задачи, площадь данного прямоугольника равна  9м^2, а его периметр составляет 12 м, следовательно, можем записать следующие соотношения: 

х * у = 9;

2 * (х + у)  = 12.

Выражая из второго соотношения у через х, получаем:

х + у = 12 / 2;

х + у = 6;

у = 6 - х.

Подставляя  данное значение у = 6 - х в уравнение х * у = 9, получаем:

х * (6 - х) = 9

6х - х^2 = 9;

х^2 - 6х + 9 = 0;

(х - 3)^2 = 0;

х - 3 = 0;

х = 3 см.

Находим длину второй стороны прямоугольника:

у = 6 - х = 6 - 3 = 3.

Ответ: данный прямоугольник является квадратом со стороной, равной 6 см.

Answer 2

Пусть длина прямоугольника равна x, а ширина - y. Тогда площадь прямоугольника равна S = x * y = 9 кв.ед.

Периметр прямоугольника равен P = 2x + 2y.

Нам нужно найти стороны прямоугольника, при которых его периметр будет наименьшим. Для этого можно воспользоваться методом нахождения экстремума функции. Для начала, найдем выражение для периметра через одну переменную. Для этого выразим одну из сторон через другую из уравнения площади:

x = 9 / y

Теперь можем подставить это выражение в формулу для периметра:

P(y) = 2 * (9 / y) + 2y = 18 / y + 2y

Теперь найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти точку экстремума:

P'(y) = -18 / y^2 + 2

-18 / y^2 + 2 = 0 -18 / y^2 = -2 y^2 = 18 / 2 y^2 = 9 y = ±3

Таким образом, мы получили два значения для y: 3 и -3. Однако, поскольку сторона не может быть отрицательной, то y = 3.

Теперь, найдем соответствующее значение для x:

x = 9 / y x = 9 / 3 x = 3

Таким образом, стороны прямоугольника, при которых его периметр будет наименьшим, равны 3 и 3.