Question

Доведіть справедливість твердження z''_{xy} =z''_{yx} якщо z=3x^2+3y^2+5xy+x-y+5. срочно прошу

Answer 1

$\displaystyle z=3x^2+3y^2+5xy+x-y+5$

1) Найдём производную $\displaystyle z''_{xy}$
$\displaystyle z'_x=6x+5y+1$
$\displaystyle z''_{xy}=5$

2) Найдём производную $\displaystyle z''_{yx}$
$\displaystyle z'_y=6y+5x-1$
$\displaystyle z''_{yx}=5$

3) Сравним вторые производные
$\displaystyle z''_{xy}= z''_{yx}=5$

Доказано

Answer 2

Щоб довести справедливість твердження z''{xy} = z''{yx}, спочатку необхідно знайти всі похідні другого порядку функції z = 3x^2 + 3y^2 + 5xy + x - y + 5.

Спочатку знайдемо часткові похідні першого порядку: z_x = d(z)/dx = d(3x^2 + 3y^2 + 5xy + x - y + 5)/dx = 6x + 5y + 1, z_y = d(z)/dy = d(3x^2 + 3y^2 + 5xy + x - y + 5)/dy = 6y + 5x - 1.

Далі знайдемо часткові похідні другого порядку: z_{xx} = d^2(z)/dx^2 = d/dx(6x + 5y + 1) = 6, z_{yy} = d^2(z)/dy^2 = d/dy(6y + 5x - 1) = 6, z_{xy} = d^2(z)/dxdy = d/dy(6x + 5y + 1) = 5, z_{yx} = d^2(z)/dydx = d/dx(6y + 5x - 1) = 5.

Таким чином, ми отримали, що z_{xy} = 5 і z_{yx} = 5. Оскільки ці значення рівні, ми можемо зробити висновок, що z''{xy} = z''{yx} для функції z = 3x^2 + 3y^2 + 5xy + x - y + 5.

Отже, твердження z''{xy} = z''{yx} справедливе для даної функції.