Question

СРОЧНО В треугольнике ABC точки A1 и C1 — середины сторон BC и AB соответственно. Через произвольную точку K на стороне AC провели прямые, параллельные AA1 и CC1, пересекающие BC и AB в точках P и Q соответственно. Докажите, что отрезки AA1 и CC1 делят отрезок PQ на три равные части.

Answer 1

M - точка пересечения медиан, CM/MC1 =2/1

△KAQ~△CAC1 (стороны параллельны), KD/DQ =CM/MC1 =2/1

PE/EQ =KD/DQ =2/1 (т о пропроциональных отрезках) => EQ =1/3 PQ

Аналогично FP =1/3 PQ

Answer 2

Для доказательства, что отрезки AA1 и CC1 делят отрезок PQ на три равные части, мы можем использовать теорему о параллельных линиях.

Пусть M - точка пересечения отрезков AA1 и CC1. Так как A1 и C1 являются серединами соответствующих сторон, то AM и CM также являются медианами треугольника ABC. Следовательно, AM делит BC пополам, и BM = MC.

Рассмотрим треугольник APQ. Так как линии PQ и AA1 параллельны, то по теореме о параллельных линиях получаем следующее соотношение:

BM/BP = MC/CQ

Так как BM = MC, получаем:

BP = CQ

Из этого следует, что отрезок PQ делится точкой M на две равные части: PM и MQ.

Теперь рассмотрим треугольник CPQ. Аналогично, поскольку линии PQ и CC1 параллельны, по теореме о параллельных линиях получаем:

BM/BP = MC/CQ

Так как BM = MC, получаем:

BP = CQ

Из этого следует, что отрезок PQ также делится точкой M на две равные части: PM и MQ.

Таким образом, мы показали, что отрезки AA1 и CC1 делят отрезок PQ на три равные части, поскольку точка M является их точкой пересечения и делит PQ на две равные части.