Question

Своими координатами даны точки A(1;2;0), C(3;2;1), D(1;3;–1), E(2;2;0). Лежат ли эти точки на одной плоскости?

Answer 1

Ответ:  нет .

Если смешанное произведение векторов равно 0, то векторы лежат в одной плоскости. Проверим это условие .

$A(1;2;0)\ ,\ C(3;2;1)\ ,\ D(1;3;-1)\ ,\ E(2;2;0)\\\\\overline{AC}=(2;0;1)\ ,\ \ \overline{AD}=(0;1;-1)\ ,\ \ \overline{AE}=(1;0;0)$

$(\overline{AE},\overline{AC},\overline{AD})=\left|\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&0&1\\0&1&-1\end{array}\right|=1\cdot \left|\begin{array}{ccc}0&1\\1&-1\end{array}\right|=0\cdot (-1)-1\cdot 1=-1\ne 0$  

Векторы не компланарны, то есть не лежат в одной плоскости .

Answer 2

Для определения, лежат ли точки A, C, D и E на одной плоскости, можно использовать свойство векторного произведения. Если векторное произведение векторов AC и AD равно нулевому вектору, то точки лежат на одной плоскости.

Вектор AC можно получить вычислив разность векторов C и A: AC = C - A = (3 - 1, 2 - 2, 1 - 0) = (2, 0, 1).

Аналогично, вектор AD можно получить вычислив разность векторов D и A: AD = D - A = (1 - 1, 3 - 2, -1 - 0) = (0, 1, -1).

Теперь вычислим векторное произведение векторов AC и AD: AC × AD = (2, 0, 1) × (0, 1, -1).

Для вычисления векторного произведения можно воспользоваться следующей формулой: AC × AD = (AC_y * AD_z - AC_z * AD_y, AC_z * AD_x - AC_x * AD_z, AC_x * AD_y - AC_y * AD_x).

Применяя формулу, получаем: AC × AD = (0 * (-1) - 1 * 1, 1 * 0 - 2 * (-1), 2 * 1 - 0 * 0) = (-1, 2, 2).

Таким образом, векторное произведение векторов AC и AD равно (-1, 2, 2), и оно не является нулевым вектором.

Значит, точки A, C, D и E не лежат на одной плоскости.