Question

Дан треугольник MNK. вычислите угол N в этом треугольнике, если м(3;-2;1)N(3;1;5)K(3;1;11)

Answer 1

Найдём длины сторон треугольника. Сначала найдём длины проекций сторон на оси - через разности координат вершин:
Для М(3;-2;1) и N (3;1;5) это будет:
MN(0; 3; 4) - по-хорошему надо всегда вычитать второе из первого или наоборот, т.е. должно бы получиться "-3", но нас интересуют абсолютные значения.
Соответственно:
NK(0;0;6)
MK(0;3;10)
Из теоремы Пифагора квадрат длины отрезка будет равен сумме квадратов его проекций:
MN^2 = 0^2 + 3^2 + 4^2 = 25
MN=5
NK^2 = 0^2 + 0^2 + 6^2 = 36
NK = 6
MK^2 = 0^2 + 3^2 + 10^2 = 109
MK = $\sqrt{109}$
Теперь вспомним теорему косинусов:
MK^2 = MN^2 + NK^2 - 2*MN*NK*cosMNK
109 = 25 + 36 - 2*5*6*cosMNK
48 = -60cosMNK
cosMNK = -48/60 = -4/5
MNK = arccos (-4/5)