Question

у паралелограмі abcd кут а 60 градусів, висота BK ділить сторону AD на дві рівні частини. Знайдіть довжину діагоналі BD, якщо периметр паралелограма дорівнює 60 см

Answer 1

Ответ:

BD = 12 см

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим треугольник АВЕ:  

угол В = 30 град., а сторона АЕ, лежащая против угла 30 град = 1/2 гипотенузы АВ, т.е. АЕ = 1/2АВ, но АЕ = ЕD и также = 1/2АВ, значит, AD = АЕ + ЕД = 1/2АВ+1/2АВ = АВ  

Р параллелограмма = (АВ+ВС) х 2.  

АВ + ВС = 48 : 2 = 24 см , также и  АВ + AD = 24 см

АВ = 24 : 2 = 12  см

Рассмотрим два треугольника АВЕ и ЕВD:  они равны, тк. сторона ВЕ общая (ВЕ=ВЕ), а катеты АЕ = ЕD, следовательно и ВD = АВ = 12 см

Answer 2

За умовою задачі, висота BK ділить сторону AD на дві рівні частини. Позначимо середину сторони AD як точку M. Оскільки BM є висотою, вона ділить сторону AD на дві рівні частини, тобто AM = MD.

Оскільки паралелограм ABCD - паралелограм, то протилежні сторони рівні, тобто AB = CD.

Також, оскільки кут А дорівнює 60 градусів, то кут D дорівнює 180 градусів - 60 градусів = 120 градусів.

Знаходимо периметр паралелограма: AB + BC + CD + AD = 60 см

AB = CD (за властивістю паралелограма) AD = AM + MD = 2AM (за властивістю висоти BK)

Отже, периметр можна записати так: 2AB + BC + 2AD = 60 см

За допомогою отриманого рівняння знаходимо значення AB: 2AB + BC + 4AB = 60 см 6AB + BC = 60 см 6AB = 60 см - BC AB = (60 см - BC) / 6

Також, оскільки кут D дорівнює 120 градусам, то паралелограм ABCD є рівнобедреним, тобто BD = AC.

Застосуємо теорему косинусів у трикутнику ABD: BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 * AB * AD * cos(60 градусів)

Замінюємо AD на 2AB та підставляємо значення AB: BD^2 = ((60 см - BC) / 6)^2 + (2 * ((60 см - BC) / 6))^2 - 2 * ((60 см - BC) / 6) * 2 * ((60 см - BC) / 6) * cos(60 градусів)

Тепер можемо розв'язати це рівняння для знаходження BD.