Question

1. Составьте уравнение гиперболы, если её вершины находятся в точках (-3; 0) и (3; 0), а фокусы – в точках (-5; 0) и (5; 0). 2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; 2; -2) и параллельной плоскости x +2y -3z = 0.

Answer 1

1) Каноническое уравнение гиперболы (x^2/a^2) –(y^2/b^2) =1.

Действительная ось гиперболы: 2a=x(A2) - x(A1) = 6

фокусное расстояние: 2с=10

b=(c^2-a^2)^(1/2) = (5^2-3^2)^(1/2) = 4.

(x/3)^2 - (y/4)^2 = 1  или (x^2/9) – (y^2/16) = 1.

2) Заданы плоскость P: x + 2y − 3z = 0 и точка M(2; 2; ,-2).

Написать уравнение плоскости P′, проходящей через точку M параллельно плоскости P.  

Решение.

Так как плоскости P и ′P′ параллельны, то нормальный вектор для плоскости P будет также нормальным вектором для плоскости P′.

Из уравнения плоскости получаем N¯= (1; 2; −3).

Далее запишем уравнение плоскости по формуле A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0−  уравнение плоскости, которая проходит через точку M(x0,y0,z0) перпендикулярно вектору N¯=(A,B,C).

1(x−2)+2(y−2)−3(z+2)=0⇒

⇒x-2+2y-4−3z-6=0⇒

⇒x+2y−3z-12=0.

Ответ: x+2y−3z-12=0.

Answer 2

1. Уравнение гиперболы с вершинами (-3, 0) и (3, 0), а фокусами (-5, 0) и (5, 0) имеет следующий вид:

((x - h)^2 / a^2) - ((y - k)^2 / b^2) = 1

Где (h, k) - координаты центра гиперболы, а a и b - полуоси гиперболы.

Центр гиперболы находится в середине между вершинами, поэтому (h, k) = ((-3 + 3) / 2, (0 + 0) / 2) = (0, 0).

Расстояние от центра до фокусов равно полуразности фокусного расстояния, поэтому:

c = 5 - 0 = 5

a^2 = c^2 - b^2

a^2 = 5^2 - (3 - (-3))^2 = 25 - 36 = -11

Так как a^2 получилось отрицательным, это гипербола с поперечной осями, поэтому меняем знаки перед a^2 и b^2:

((-x)^2 / 11) - (y^2 / b^2) = 1

2. Уравнение плоскости, проходящей через точку M(2, 2, -2) и параллельной плоскости x + 2y - 3z = 0, имеет следующий вид:

a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0

Где (x₀, y₀, z₀) - координаты точки M и (a, b, c) - нормальный вектор плоскости.

Нормальный вектор плоскости параллелен нормальному вектору плоскости x + 2y - 3z = 0, который имеет координаты (1, 2, -3).

Так как плоскости параллельны, их нормальные векторы равны. Таким образом, уравнение плоскости примет вид:

1(x - 2) + 2(y - 2) - 3(z - (-2)) = 0

x - 2 + 2y - 4 - 3z + 6 = 0

x + 2y - 3z + 6 = 0

Уравнение плоскости, проходящей через точку М(2, 2, -2) и параллельной плоскости x + 2y - 3z = 0, равно x + 2y - 3z + 6 = 0.