Question

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и образует с плоскостью основания угол а. Диагональ основания образует с одной из сторон угол В. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Answer 1

Параллелепипед АВСDА1В1С1D1, диагональ А1С=d
АВ=СD=d*cosa
AD=BC=d*cosb
A1D=d*sina
A1B=d*sinb
AA1=√(d^2*sin^2a-d^2*cos^2a)=d*√sin^2a-cos^2a
Площадь боковой поверхности S=H*h=2(AB+AD)*d*√sin^2a-cos^2a=
=2*d^2*(cosa+cosb)*√sin^2a-cos^2a

Answer 2

Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны a и b, а высота параллелепипеда равна h. Тогда диагональ основания равна √(a^2 + b^2), а диагональ параллелепипеда равна √(a^2 + b^2 + h^2).

Мы знаем, что диагональ параллелепипеда равна d, поэтому у нас есть следующее уравнение: √(a^2 + b^2 + h^2) = d

Мы также знаем, что диагональ основания образует с одной из сторон угол В. Пусть эта сторона равна b. Тогда у нас есть следующее уравнение: tan(B) = b / √(a^2 + b^2)

Мы можем решить второе уравнение относительно b: b = √(a^2 + b^2) * tan(B)

Подставим это значение b в первое уравнение: √(a^2 + (√(a^2 + b^2) * tan(B))^2 + h^2) = d

Раскроем скобки и упростим уравнение: √(a^2 + (a^2 + b^2) * tan^2(B) + h^2) = d

Уберем квадратный корень, возведя обе части уравнения в квадрат: a^2 + (a^2 + b^2) * tan^2(B) + h^2 = d^2

Теперь мы имеем систему уравнений: √(a^2 + b^2 + h^2) = d a^2 + (a^2 + b^2) * tan^2(B) + h^2 = d^2

Из этой системы уравнений можно найти значения a, b и h, а затем найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.