Question

В треугольнике АВС дано уравнение стороны AB: 3x+2y-12=0 и уравнения высот, опущенных из вершин A:x+2y=4 и B:4x+y=6. Найдите уравнение высоты, опущенной из вершины С.

Answer 1

Находим координаты точки О пересечения высот как систему уравнений.

x + 2y = 4                  x + 2y = 4    

4x + y = 6  (х(-2))   -8x - 2y=-12

                              -7х       = -8     х = 8/7 ≈ 1,14286.

y = 6 – 4x = 6 – 4*(8/7) = (42 – 32)/7 = 10/7 ≈ 1,42857.

Точка О((8/7); (10/7)).

Далее используем свойство: высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке - ортоцентре треугольника.

Искомая высота из точки С проходит через точку О.

В уравнении СО как перпендикуляра к стороне АВ с уравнением 3x+2y-12=0 коэффициенты общего уравнения А и В меняются на В и (-А) или (-В) и А.

Получаем уравнение СО: 2x - 3y + С = 0. Для определения параметра С подставим координаты точки О((8/7); (10/7)).

2*(8/7) – 3*(10/7) + С = 0. Отсюда С = (30/7) – (16/7) = 14/7 = 2.

Ответ: уравнение высоты 2x - 3y + 2 = 0.