Question

у квадраті АВСD сторона дорівнює 1. Діагоналі перетинаються в точці О.Знайдіть скалярний добуток векторів:а)АО і ВD; б) СО і CD; в)АВ і DB.Допоможіть будь ласка.до 15.00​

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

У квадраті ABCD зі стороною 1 діагоналі AC і BD перетинаються в точці O. Знайдемо скалярний добуток цих векторів:

a) AO і BD: Оскільки AO - половина діагоналі AC, а BD - діагональ квадрата, ми можемо використати теорему Піфагора, щоб знайти їх довжини: |AO = AC = 2 = sqrt(1² + 1²)/2 = sqrt(2)/2 BD = AC = sqrt(2)

Кут між векторами AO і BD дорівнює 45 градусів, оскільки діагоналі квадрата перетинаються під прямим кутом, а AO дорівнює половині діагоналі AC. Тому AO - BD = |AO||BD|cos(45°) = (sqrt(2)/2)(sqrt(2))cos(45°) = 1

б) CO і CD: Оскільки CO - половина діагоналі AC, а CD - сторона квадрата довжиною 1: |CO| = |AC|/2 = sqrt(2)/2 |CD| = 1

Кут між векторами CO і CD також дорівнює 45 градусів, оскільки діагоналі квадрата перетинаються під прямим кутом, а CO дорівнює половині діагоналі AC. Тому CO - CD = |CO||CD|cos(45°) = (sqrt(2)/2)(1)cos(45°) = sqrt(2)/2

c) AB і DB: Оскільки AB і DB - сторони квадрата довжиною 1, то |AB|= |DB|= 1

Кут між векторами AB і DB також дорівнює 45 градусів, оскільки вони є сторонами, прилеглими до однієї діагоналі. Тому AB - DB= |AB||DB|cos(45°)= (1)(1)cos(45°)= sqrt(2)/2

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі нам знадобиться геометричне спостереження та деякі властивості квадратів. Давайте розглянемо кожен пункт окремо:

а) Скалярний добуток векторів АО і ВD: За властивостями квадрата, сторона АВ паралельна стороні CD і має таку саму довжину. Оскільки АВ і ВD - сторони квадрата, то ВD також має довжину 1. Таким чином, ВD - одиницевий вектор (вектор з довжиною 1).

Скалярний добуток векторів АО і ВD можна знайти, використовуючи співвідношення: АО · ВD = |АО| * |ВD| * cos(θ)

Для вектора АО використаємо координати точок: АО = О - А = (0, 0) - (1, 0) = (-1, 0)

Тепер обчислимо скалярний добуток: АО · ВD = (-1, 0) · (1, 0) = -1 * 1 + 0 * 0 = -1

Отже, скалярний добуток векторів АО і ВD дорівнює -1.

б) Скалярний добуток векторів СО і CD: Оскільки діагоналі квадрата перетинаються в точці О, то СО і CD є діагоналями квадрата, тому мають однакову довжину.

За властивостями квадрата, діагоналі є векторами, що перпендикулярні одна одній, тому їх скалярний добуток дорівнює 0.

Отже, скалярний добуток векторів СО і CD дорівнює 0.

в) Скалярний добуток векторів АВ і DB: Враховуючи властивості квадрата, сторона АВ має довжину 1.

Вектор DB можна знайти, віднімавши координати точки D від точки B: DB = B - D = (1, 1) - (1, 0) = (0, 1)

Скалярний добуток векторів АВ і DB можна обчислити: АВ · DB =