Question

Кут між бісектрисою і висотою, проведеними з вершини найбільшого кута прямокутного трикутника, дорівнює 12°. Знайти гострі кути трикутника.

Answer 1

Позначимо гострі кути трикутника через A та B, а вершину прямого кута - через С. За властивостями прямокутних трикутників, бісектриса AC ділить кут BCA пополам, а висота BD, проведена до гіпотенузи, є середньою пропорційною між катетами CD та AD.

За теоремою про бісектрису кута, ми знаємо, що кут ACD дорівнює куту BCA/2, тобто:

ACD = BCA/2 = 2 * ACD + 12°

Розв'язавши це рівняння, знаходимо:

ACD = 24°

Отже, кут BAC дорівнює:

BAC = 90° - ACD = 90° - 24° = 66°

А кут ABC дорівнює:

ABC = 90° - BAC = 90° - 66° = 24°

Отже, гострі кути трикутника дорівнюють 24° та 66°.

Answer 2

Припустимо, що великий кут прямокутного трикутника дорівнює A, а гострі кути дорівнюють B і C. За властивостями прямокутного трикутника, один з гострих кутів є 90 градусів.

Запишемо відомі дані:

Кут між бісектрисою і висотою, проведеними з вершини найбільшого кута, дорівнює 12 градусам. Отже, кут між бісектрисою і висотою з однієї сторони прямокутного трикутника дорівнює 12 градусам, а кут між бісектрисою і висотою з іншої сторони також дорівнює 12 градусам.

Кут BAC = A (бісектриса), BCA = 90° (прямий кут), CAB = 12° (заданий кут).

Оскільки сума всіх кутів трикутника дорівнює 180 градусів, ми можемо записати рівняння:

A + B + C = 180°

Але ми знаємо, що B = 90°, отже:

A + 90° + C = 180°

Або:

A + C = 90°

Також ми знаємо, що A - C = 12° (так як кут BAC = A і кут BCA = C).

Тепер ми можемо вирішити цю систему рівнянь. Додамо обидва рівняння:

(A + C) + (A - C) = 90° + 12°

2A = 102°

A = 51°

Підставимо значення A у одне з рівнянь:

51° + C = 90°

C = 39°

Отже, гострі кути трикутника дорівнюють 51° і 39°.