Question

(СРОЧНО 45 БАЛОВ) Кут між векторами a і b дорівнює 30 градусів , a = 2 , b = 3 , Знайдіть 1) a x b ; 2) (a+b) x a ; 3) (a - b) x b ; 4) (3a - 2b) x b

Answer 1

Ответ:

За заданим кутом між векторами a і b, можна знайти добуток довжин цих векторів на косинус цього кута:

a · b = |a| · |b| · cos(30°)

Тому, з умови задачі:

a = 2, b = 3

|a| = 2, |b| = 3

a · b = 2 · 3 · cos(30°) ≈ 5.196

a x b - векторний добуток векторів a і b:

a x b = |a| · |b| · sin(30°) · n

де n - вектор, який перпендикулярний площині, утвореній векторами a і b. У даному випадку, n напрямлений уздовж вісі z, оскільки кут між a і b менше 90°. Тому:

a x b = 2 · 3 · sin(30°) · k ≈ 1.5k

де k - вектор, що напрямлений уздовж вісі z.

(a+b) x a - векторний добуток векторів (a+b) і a:

(a+b) x a = |a+b| · |a| · sin(30°) · n

Але |a+b| = |2a| = 2|a|, оскільки вектор b = 3 напрямлений по зразок вектора a = 2. Тому:

(a+b) x a = 2|a| · |a| · sin(30°) · k ≈ 1.732k

(a - b) x b - векторний добуток векторів (a-b) і b:

(a-b) x b = |a-b| · |b| · sin(30°) · n

Але |a-b| = √((2-3)²) = 1, оскільки вектор b віднімається від вектора a. Тому:

(a-b) x b = 1 · 3 · sin(30°) · k ≈ 0.75k

(3a - 2b) x b - векторний добуток векторів (3a-2b) і b:

(3a-2b) x b = |3a-2b| · |b| · sin(30°) · n

Але |3a-2b| = √((3·2-2·3)²) = 0, оскільки вектор b утримується у від'ємному коефіцієнті. Тому:

(3a-2b) x b = 0

Answer 2

Для вирішення цих задач вам знадобиться знання векторного добутку. Векторний добуток векторів a і b позначається як a × b і визначається наступним чином:

a × b = |a| |b| sin(θ) n,

де |a| і |b| - модулі векторів a і b, θ - кут між a і b, і n - одиницевий вектор, перпендикулярний до площини, утвореної векторами a і b.

1. a × b: |a| = 2, |b| = 3, θ = 30°

a × b = |a| |b| sin(θ) n = 2 * 3 * sin(30°) * n = 6 * 0.5 * n = 3n

Таким чином, a × b = 3n.

2. (a+b) × a: |a| = 2, |b| = 3, θ = 30°

(a+b) × a = |a+b| |a| sin(θ) n = |2+3| * 2 * sin(30°) * n = 5 * 2 * 0.5 * n = 5n

Таким чином, (a+b) × a = 5n.

3. (a - b) × b: |a| = 2, |b| = 3, θ = 30°

(a - b) × b = |a - b| |b| sin(θ) n = |2 - 3| * 3 * sin(30°) * n = |-1| * 3 * 0.5 * n = 1.5n

Таким чином, (a - b) × b = 1.5n.

4. (3a - 2b) × b: |a| = 2, |b| = 3, θ = 30°

(3a - 2b) × b = |3a - 2b| |b| sin(θ) n = |32 - 23| * 3 * sin(30°) * n = |6 - 6| * 3 * 0.5 * n = 0n

Таким чином, (3a - 2b) × b = 0n.

Отже, відповіді:

1. a × b = 3n
2. (a+b) × a = 5n
3. (a - b) × b = 1.5n
4. (3a - 2b) × b = 0n