Question

Трикутник АВС задано координатами його вершин: А(0; 2), В(1; 3), С(2; 2). Знайдіть зовнішній кут при вершині А.

Answer 1

$ab = \sqrt{ {(1 - 0)}^{2} + {(3 - 2)}^{2} } = \sqrt{ {1}^{2} + {1}^{2} } = \sqrt{2}$

$bc = \sqrt{ {(2 - 1)}^{2} + {(2 - 3)}^{2} } = \sqrt{ {1}^{2} + {( - 1)}^{2} } = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

$ac = \sqrt{ {(2 - 0)}^{2} + {(2 - 2)}^{2} } = \sqrt{ {2}^{2} + {0}^{2} } = \sqrt{ {2}^{2} } = 2$

$\cos( \alpha ) = \frac{ {b}^{2} + {c}^{2} - {a}^{2} }{2bc} = \\ = \frac{ {2}^{2} + { \sqrt{2} }^{2} - { \sqrt{2} }^{2} }{2 \times 2 \times \sqrt{2} } = \\ = \frac{4}{4 \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \alpha = 45$

зовнішній кут при вершині А = 180°-45°=135°

Answer 2

Щоб знайти зовнішній кут при вершині А, нам потрібно з'ясувати координати суміжних сторін, які межують з цим кутом. У нашому випадку, це сторони AB та AC.

Спочатку знайдемо вектори, що відповідають сторонам AB та AC. Для цього віднімемо координати початкової точки від координат кінцевої точки кожної сторони:

Вектор AB = B - A = (1, 3) - (0, 2) = (1, 1) Вектор AC = C - A = (2, 2) - (0, 2) = (2, 0)

Тепер, ми можемо використати формулу для обчислення кута між двома векторами в тривимірному просторі:

cos(θ) = (AB · AC) / (||AB|| * ||AC||)

де AB · AC - скалярний добуток векторів AB та AC, ||AB|| - довжина вектора AB, ||AC|| - довжина вектора AC.

В нашому випадку, ми працюємо в двовимірному просторі, тому можемо використати відповідну формулу:

cos(θ) = (AB · AC) / (||AB|| * ||AC||) = ((1, 1) · (2, 0)) / (||AB|| * ||AC||)

AB · AC = 1 * 2 + 1 * 0 = 2 ||AB|| = √(1^2 + 1^2) = √2 ||AC|| = √(2^2 + 0^2) = 2

Тепер ми можемо підставити ці значення в формулу:

cos(θ) = 2 / (√2 * 2) = 1 / √2 = √2 / 2

Щоб знайти значення самого кута θ, ми можемо використати обернену функцію косинуса (arccos):

θ = arccos(√2 / 2)

Застосуємо це до калькулятора або математичного програмного забезпечення для отримання числового значення кута θ:

θ ≈ 45°

Таким чином, зовнішній кут при вершині А дорівнює приблизно 45 градусам.