Question

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Точки A(-3;-7;2) B(-3;-1;0) D(5;-3;-2) являются координатами трех вершин трапеции. Учитывая, что AD = 2BC, найти координаты вершины C Прошу с подробным объяснением :)

Answer 1

1) найти уравнение AD, длину стороны AD

2) уравнение параллельной ей прямой, проходящей через В,

3)отложить точку на этой прямой на расстоянии AD/2

1) уравнение прямой через 2 точки А и D:

(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)

(x+3)/(5+3)=(y+7)/(-3+7)=(z-2)/(-2-2)

(x+3)/8=(y+7)/4=(z-2)/-4

|AD|^2=(5+3)^2+(-3+7)^2+(-2-2)^2=64+16+16=96

AD=4√6

направляющий вектор прямой AD(8;4;-4)

2)у параллельной прямой ВС вектор будет таким же, но проходить он будет через В

(x+3)/8=(y+1)/4=z/(-4)-уравнение прямой ВС

|BC|=AD/2=2√6

Пусть С имеет координаты (a;b;c), тогда найду их связь через |BC|:

|BC|^2=24=(-3-a)^2+(-1-b)^2+(0-c)^2

24=9+6a+a^2+1+2b+b^2+c^2

a^2+b^2+c^2+6a+2b-14=0 (*)

С лежит на прямой ВС, подставлю ее координаты в уравнение ВС

(a+3)/8=(b+1)/4=c/(-4)

(a+3)/2=(b+1)/1=c/(-1); выражу а и b через с и подставлю их в уравнение (*)

b+1=-c; b=-c-1

a+3=2*(-c);a=-2c-3

(-2с-3)^2+(-c-1)^2+c^2+6(-2c-3)+2(-c-1)-14=0

4c^2+12c+9+c^2+2c+1+c^2-12c-18-2c-2-14=0

6c^2-24=0

с^2=4

c=+-2

Два корня по с говорят о том, что от В можно отложить С  в двух направлениях. В задаче трапеция, значит подойдет только один корень c=-2 (определено по построению на плоскости по координатам х и у)

a=4-3=1;b=2-1=1

Тогда C(1;1;-2)

Answer 2

Для нахождения координат вершины C трапеции ABCD, мы можем использовать условие, что AD равно двум BC.

Сначала найдем векторы AD и BC, используя координаты точек A, B и D:

Вектор AD = D - A = (5, -3, -2) - (-3, -7, 2) = (5 + 3, -3 + 7, -2 - 2) = (8, 4, -4)

Вектор BC = C - B

Теперь мы знаем, что AD = 2BC, поэтому можем записать:

(8, 4, -4) = 2 * (C - (-3, -1, 0))

Раскроем скобки:

(8, 4, -4) = 2 * (C + (3, 1, 0))

Упростим:

(8, 4, -4) = 2C + (6, 2, 0)

Теперь сравним координаты по отдельности:

8 = 2C_x + 6 (1) 4 = 2C_y + 2 (2) -4 = 2C_z (3)

Из уравнения (3) получаем:

C_z = -2

Подставим это значение в уравнения (1) и (2):

8 = 2C_x + 6 4 = 2C_y + 2

2C_x = 8 - 6 = 2 2C_y = 4 - 2 = 2

C_x = 1 C_y = 1

Таким образом, координаты вершины C равны (1, 1, -2).