Question

Доведіть що прямі що проходять через точку перетину діагоналей прямокутника паралельно його сторонами є його осями асиметрії

Answer 1

Для доведення цього твердження розглянемо прямокутник ABCD з точкою перетину діагоналей O. З'єднаємо точки А та С лінією, а також точки В та D. Оскільки протилежні сторони прямокутника рівні, то вони паралельні одна одній.

rectangle

Також, оскільки AD та BC - діагоналі прямокутника, то вони перетинаються в точці O та діляться навпіл. Отже, AO = CO, BO = DO.

diagonals

Розглянемо дві прямі, які проходять через точку O та паралельні сторонам прямокутника: одна з них проходить через точки A та C, а друга - через точки B та D. При цьому ми можемо відзначити, що відрізки AO = CO та BO = DO є опорними відрізками для відповідних прямих.

parallels

Розглянемо тепер відрізок AB та пряму, яка проходить через точку O та паралельна до CD. Оскільки AB || CD, то за теоремою про перпендикулярність діагоналей у прямокутнику можна стверджувати, що відрізок AB є опорним відрізком для даної прямої. Аналогічно можна довести, що відрізок BC є опорним відрізком для прямої, яка проходить через точку O та паралельна до AD.

Отже, ми довели, що прямі, які проходять через точку перетину діагоналей прямокутника і паралельні його сторонам, є його осями асиметрії.

Answer 2

Припустимо, що у нас є прямокутник ABCD з діагоналями AC і BD, які перетинаються в точці O.

Оскільки прямокутник ABCD є прямокутником, то протилежні сторони його паралельні. З цього випливає, що сторона AB паралельна стороні CD, а сторона BC паралельна стороні AD.

Також ми знаємо, що діагоналі прямокутника ділять його на дві рівні частини. Оскільки точка O є точкою перетину діагоналей, вона ділить кожну з діагоналей навпіл.

За властивостями прямокутника, діагоналі AC і BD є взаємно перпендикулярними, тобто їх перетин є прямим кутом. Оскільки точка O ділить кожну з діагоналей навпіл, то пряма AO перпендикулярна прямій BO, а пряма CO перпендикулярна прямій DO.

Отже, ми отримали, що пряма AO паралельна стороні CD, а пряма CO паралельна стороні AD. Це означає, що пряма AO є осію асиметрії сторони CD, а пряма CO є осію асиметрії сторони AD.

Аналогічно, можна показати, що пряма BO паралельна стороні CD, а пряма DO паралельна стороні AD. Тому пряма BO є осію асиметрії сторони CD, а пряма DO є осію асиметрії сторони AD.

Отже, прямі, що проходять через точку перетину діагоналей прямокутника, паралельні його сторонами, є його осями асиметрії.