Question

Відрізок AB не перетинає площину α. Через точки A і B проведено прямі, які перпен- дикулярні до площини α та перетинають її в точках C і D відповідно. Знайдіть відрізок CD, якщо AC = 6 см, BD = 17 см, AB = 16 см.

Answer 1

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику ACD маємо:

AD² = AC² + CD².

Аналогічно, за теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику BCD маємо:

BD² = BC² + CD².

Маємо також відомі значення AC = 6 см, BD = 17 см і AB = 16 см.

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику ABС:

AB² = AC² + BC².

Звідси отримуємо:

BC² = AB² - AC² = 16² - 6² = 220.

Аналогічно, за теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику ABD:

AB² = AD² + BD².

Звідси отримуємо:

AD² = AB² - BD² = 16² - 17² = -33.

Оскільки AD має бути додатним, то такий трикутник неможливий.

Отже, відрізок CD не існує, і задача не має розв'язку.

Answer 2

Давайте позначимо вектори AB, AC і BD як $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ і $\vec{BD}$ відповідно.

Оскільки прямі, проведені через точки A і B, перпендикулярні до площини α, вони будуть паралельні площині α. Отже, вектори $\vec{AC}$ і $\vec{BD}$ також будуть паралельні площині α.

Ми знаємо, що AC = 6 см і BD = 17 см.

Оскільки вектори $\vec{AC}$ і $\vec{BD}$ паралельні, відрізок CD також буде паралельний векторам $\vec{AC}$ і $\vec{BD}$.

Значить, масштабний коефіцієнт між векторами $\vec{AC}$ і $\vec{CD}$ буде такий самий, як масштабний коефіцієнт між векторами $\vec{AC}$ і $\vec{BD}$.

Масштабний коефіцієнт між векторами можна знайти, порівнюючи їх довжини.

$\frac{|\vec{AC}|}{|\vec{AB}|} = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

Тепер ми можемо використати цей масштабний коефіцієнт, щоб знайти відрізок CD.

$CD = \frac{3}{8} \cdot BD = \frac{3}{8} \cdot 17 = \frac{51}{8}$ см.

Отже, відрізок CD дорівнює $\frac{51}{8}$ см.