Question

Пряма в точці А дотикається до кола із центром О. На дотичній по різні боки від точки А відкладено рівні відрізки АМ і АN. Доведіть, що ОМ=ON

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

Дано: 

О - центр кола; 

 А - точка дотику;  

АМ = АN  

Довести: ОМ = ОN

Доведення:

Проведемо радіус ОА. Радіус кола, проведений через точку дотику, перпендикулярний дотичній прямій. Звідси, ∠OAM = ∠OAN= 90*

.Розглянемо прямокутні трикутники АОМ і АОN.
AM = AN за умовою, АО - спільна сторона. 

Якщо катети одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катетам другого, то такі трикутники рівні.Отже трикутники АОМ і АОN рівні.
З рівності трикутників випливає: ОМ = ОN.

Доведено.

Answer 2

Для доведення рівності OM = ON спочатку розглянемо властивості дотичної до кола.

1. Всі дотичні до кола, проведені з однієї і тієї ж точки, є рівними.

Тепер, враховуючи дану інформацію, розглянемо трикутники OMA і ONA:

1. ОА = ОА (спільна сторона).
2. ОМ = ОN (рівні відрізки, оскільки вони є дотичними до кола і прокладаються з однієї і тієї ж точки).
3. АМ = АN (дано умовою).

Отже, за принципом рівних сторін трикутників, трикутники OMA і ONA є рівнобедреними трикутниками.

В рівнобедреному трикутнику висота, опущена з вершини до основи, є відрізком, який ділить основу на дві рівні частини. Тому, в нашому випадку, ОМ ділить АН на дві рівні частини, тобто ОМ = ON.

Отже, ми довели, що ОМ = ON.