Question

З вершини прямокутника до діагоналі проведено перпендикуляр завдовжки 8 см. Основа перпендикуляра ділить діагональ у відношенні 1: 4. Знайдіть площу прямокутника

Answer 1

Для розв'язання цього завдання використаємо відомості про властивості прямокутника.

Позначимо вершину прямокутника як точку A, діагональ - точку B, а перетин перпендикуляра з діагоналлю - точку C. Нехай BC = x - основа перпендикуляра, тоді BD = 4x та CD = x (за відношенням 1:4). Нехай AB = a і BC = b.

Враховуючи властивість прямокутника, ми маємо: AB² + BC² = AC².

Застосуємо це відношення до наших позначень: a² + b² = (4x)².

Також ми знаємо, що AC = 8 см. Застосуємо теорему Піфагора до трикутника ABC: a² + b² = AC² = 8² = 64.

Ми маємо систему рівнянь: a² + b² = 64, a² + b² = (4x)².

З цієї системи ми бачимо, що 64 = (4x)². Розв'язавши це рівняння, ми отримуємо x = 4.

Тепер, знаючи x, ми можемо обчислити основу перпендикуляра BC = x = 4 см.

Площа прямокутника S = AB * BC = a * b. Ми знаємо, що a² + b² = 64, а BC = 4 см.

Застосуємо теорему Піфагора до залежності a² + b² = 64: a² + (4)² - 16 = 64, a² = 64 - 16, a² = 48.

Отже, a = √48 = 4√3 см.

Тепер ми можемо обчислити площу прямокутника: S = AB * BC = a * b = 4√3 * 4 = 16√3 см².

Отже, площа прямокутника дорівнює 16√3 квадратних сантиметрів.