Question

Докажите что четырёхугольник является плоским, если продолжения двух его противолежащих сторон пересекаются.

Answer 1

Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Ответ на это задание и соответствует этой аксиоме, так как 2 точки берём на одной прямой (в том числе точку пересечения) а третью - на второй стороне.

Answer 2

Для доказательства того, что четырёхугольник является плоским, если продолжения двух его противолежащих сторон пересекаются, можно воспользоваться свойством плоскости, известным как теорема о трёх перпендикулярах.

Теорема о трёх перпендикулярах гласит: "Если из точки, не лежащей на плоскости, опустить перпендикуляры к трём пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости, то они пересекут эту плоскость и будут в ней лежать."

Предположим, что у нас есть четырёхугольник ABCD, и мы знаем, что продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке P. Давайте рассмотрим две прямые: линию AB и линию, проходящую через точку P и параллельную стороне CD. Эти две прямые пересекаются в точке Q (см. рисунок).

cssCopy code
  A-----------------B
  |                 |
  |                 |
  P-----------------Q
  |                 |
  |                 |
  D-----------------C

Теперь мы можем применить теорему о трёх перпендикулярах: из точки P мы опускаем перпендикуляры к прямым AB и CD. Так как эти две прямые пересекаются в точке Q, то перпендикуляры также пересекутся в этой точке Q и будут лежать в одной плоскости, так как все они проходят через точку P.

Таким образом, мы доказали, что все четыре вершины четырёхугольника ABCD, включая его продолжения, лежат в одной плоскости. Следовательно, четырёхугольник ABCD является плоским.