Question

Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 4 см и 2 см, а острый угол боковой грани - 60 градусов. Найти высоту усеченной пирамиды.

Answer 1

Боковая грань усечённой пирамиды - равнобокая трапеция с основаниями 2 и 4 см и острым углом при большем основании, равным 60 градусов.

Боковое ребро L пирамиды равно: L = ((4 - 2)/2)/cos 60° = 1/(1/2) = 2 см.

Наклонная высота h боковой грани равна:

h = √(L² -((4-2)/2)²) = √(4 - 1) = √3 см.

Теперь проведём вертикальное сечение пирамиды через наклонные высоты противоположных боковых граней.

В сечении получим равнобокую трапецию с основаниями 2 и 4 см, боковые стороны которой равны √3 см.

Высота Н такой трапеции равна высоте пирамиды

Н = √((√3)² - ((4-2)/2)²) = √(3 - 1) = √2 см.

Ответ: высота пирамиды равна √2 см.

Answer 2

Для нахождения высоты усеченной пирамиды можно использовать теорему Пифагора. Для начала определим боковые ребра пирамиды. Поскольку она правильная, все боковые грани равнобедренные треугольники. Зная, что основания равны 4 см и 2 см, можем найти боковые ребра пирамиды.

Обозначим боковое ребро пирамиды через "a". Тогда мы можем записать следующее уравнение: $a^2 = 2^2 + h^2$, где "h" - высота пирамиды.

Также, поскольку острый угол боковой грани равен 60 градусам, мы знаем, что это равносторонний треугольник. Значит, все стороны бокового треугольника равны "a".

Теперь мы можем применить теорему косинусов для нахождения значения "a": $a^2 = 2^2 + h^2 - 2 \cdot 2 \cdot h \cdot \cos(60^\circ)$.

Решим это уравнение относительно "a": $a^2 = 4 + h^2 - 4h \cdot \cos(60^\circ)$.

Так как боковое ребро равно "a", мы можем записать уравнение: $4 = 4 + h^2 - 4h \cdot \cos(60^\circ)$.

Сокращая "4" на обеих сторонах, получаем: $h^2 - 4h \cdot \cos(60^\circ) = 0$.

Теперь разрешим это уравнение относительно "h".

Раскроем косинус 60 градусов: $h^2 - 4h \cdot \frac{1}{2} = 0$, $h^2 - 2h = 0$.

Далее факторизуем это уравнение: $h(h - 2) = 0$.

Таким образом, получаем два возможных значения для "h": $h = 0$ или $h = 2$.

Очевидно, что высота пирамиды не может быть равна 0, поэтому решением будет $h = 2$ см.

Таким образом, высота усеченной пирамиды составляет 2 см.