Question

Найдите острый угол между диагоналями прямоугольника со сторонами, равными 12 см и 8 см. С рисунком.

Answer 1

Дано: АВСD прямоугольник

AD=12. CD=8

найти <COD

решение:

в треугольнике ACD прямоугольном выразим AC по т. Пифагора

$\displaystyle AC=\sqrt{12^2+8^2}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}$

тогда OC=OD= 2√13

в треугольнике AOC по т. косинусов

$\displaystyle 8^2=(2\sqrt{13})^2+(2\sqrt{13})^2-2*(2\sqrt{13})^2*cosa\\\\64=2*4*13-2*4*13*cosa\\\\64=104-104*cosa\\\\64=104(1-cosa)\\\\1-cosa=\frac{64}{104}\\\\cosa=1-\frac{64}{104}=\frac{40}{104}=\frac{5}{13}\\\\a=arccos \frac{5}{13}$

Answer 2

Чтобы найти острый угол между диагоналями прямоугольника, мы можем воспользоваться теоремой косинусов.

Пусть AB и CD - это стороны прямоугольника, а AC и BD - его диагонали.

Для данного прямоугольника со сторонами 12 см и 8 см, рассмотрим диагонали AC и BD.

Рисунок:

cssCopy code
   A-----------------B
   |                 |
   |                 |
   |                 |
   |                 |
   |                 |
   |                 |
   |                 |
   D-----------------C

Диагональ AC является гипотенузой прямоугольного треугольника ACD, где AD и CD - это стороны прямоугольника. Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину диагонали AC:

AC^2 = AD^2 + CD^2

AC^2 = 12^2 + 8^2

AC^2 = 144 + 64

AC^2 = 208

AC = √208 ≈ 14.42 см

Диагональ BD также является гипотенузой прямоугольного треугольника BCD, где BC и CD - это стороны прямоугольника. Мы уже знаем, что длина CD равна 8 см.

Теперь у нас есть две известные стороны треугольника BCD: BD и CD. Мы можем найти острый угол BCD, используя теорему косинусов:

cos(BCD) = (BD^2 + CD^2 - BC^2) / (2 * BD * CD)

cos(BCD) = (BD^2 + 8^2 - 12^2) / (2 * BD * 8)

cos(BCD) = (BD^2 + 64 - 144) / (16 * BD)

cos(BCD) = (BD^2 - 80) / (16 * BD)

Теперь мы должны найти значение BD. Мы знаем, что BD является диагональю прямоугольника. Для прямоугольника со сторонами 12 см и 8 см мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:

BD^2 = AD^2 + AB^2

BD^2 = 12^2 + 8^2

BD^2 = 144 + 64

BD^2 = 208

BD = √208 ≈ 14.42 см

Теперь, используя найденные значения BD и CD, мы можем рассчитать косинус угла BCD:

cos(BCD) = (14.42^2 - 80) / (16 * 14.42)

cos(BCD) ≈ -0.3492

Используя обратную функцию косинуса