Question

Решите задачу Дано: АВСД-ромб угол ВАО=30 градусам ВД=20 см Найти : Р (АВСД)

Answer 1

В ромбе обозначаем точку пересечения диагоналей буквой О.

Рассмотрим треугольник AOB:

1.Этот треугольник прямоугольный, т.к. диагонали перпендикулярны друг к другу.

2.Угол BOA=30°, противолежащий катет(OB)  равен половине гипотенузы (AB).

3. BD=20 см, диагонали в точку пересечения делятся пополам, значит OB=DO=10 см.

4. AB=20 (смотри 2 и 3).

Зная сторону ромба, можно найти периметр:

P=a*4

P=20*4

P=80 см.

Answer 2

Так как угол ВАО = 30 градусов, то угол АВО = 180 - 2*30 = 120 градусов.
Также из теоремы косинусов для треугольника ВОД, где ВД = 20 см, получаем:
ОД^2 = ВД^2 + ВО^2 - 2*ВД*ВО*cos(120)
ОД^2 = 20^2 + ВО^2 + 2*20*ВО*0.5
ОД^2 = 400 + ВО^2 + 20*ВО
Аналогично, из теоремы косинусов для треугольника АВО, получаем:
Р^2 = ВО^2 + ВД^2 - 2*ВО*ВД*cos(30)
Подставляем ВД = 20 и cos(30) = √3 / 2:
Р^2 = ВО^2 + 20^2 - 2*ВО*20*(√3/2)
Р^2 = ВО^2 + 400 - 20*ВО*√3
Теперь выражаем ВО^2 через ОД^2 из первой формулы и подставляем во вторую:
Р^2 = ОД^2 - 400 - 20*ВО - 20*ВО*√3
Р^2 = (400 + ВО^2 + 20*ВО) - 400 -20*ВО - 20*ВО*√3
Р^2 = ВО^2 - 20*ВО*√3 + 20*ВО
Р^2 = (ВО - 10√3)^2 - 100*3 + 20*ВО
Р^2 = (ВО - 10√3)^2 + 20*ВО - 300
Теперь заменяем ВО^2 на ОД^2 - 400 - 20*ВО из первой формулы и упрощаем:
Р^2 = ОД^2 - 400 - 20*ВО + 20*ВО - 300
Р^2 = ОД^2 - 700
Итак, ответ: Р(АВСД) = √(ОД^2 - 700), где ОД выражается из первой формулы.