Question

ооооочень нужно!!! решение сфоткайте,если можно1. Диаметр шара равен высоте конуса, об­разующая которого составляет с плоскостью основания угол в 60°. Найдите отношение объемов конуса и шара.2. Объем цилиндра равен 96 см3, площадь его осевого сечения 48 см 2. Найдите площадь сферы, описанной около цилиндра.

Answer 1

1. Объем шара V=4/3π*r³. Объем конуса V=1/3SH.
Так как угол при образующей конуса равен 60°, то его образующие вместе с диаметром основания составляют равносторонний треугольник. И раз так, по теореме Пифигора, квадрат радиуса основания конуса равен разности квадратов его диаметра (этому значению равна длинна его образующей) и высоты:

Площадь основания конуса будет π*r². Следовательно, объем конуса будет:

Так как диаметр шара равен высоте конуса, объем шара можно представить как:
.
Найдем теперь отношение объемов конуса и шара:

Следовательно, объем данного конуса составляет 2/3 объема данного шара.
2. Радиус описанной вокруг цилиндра сферы вычисляется по формуле:

 Объем цилиндра равен площади его основания, умноженной на высоту. Отсюда высота цилиндра Н=96/48=2 см. Площадь основания равна π*r², отсюда:
.
Площадь сферы равна 4π*R². Подставляем в эту формулу уже найденные значения:

Площадь сферы будет равняться (192+4π) см².

Answer 2

1. Рассмотрим сечение конуса плоскостью, параллельной основанию и проходящей через вершину конуса. Получится правильный треугольник со стороной, равной диаметру шара. Также из условия известен угол между высотой конуса и основанием, а значит мы можем найти радиус основания конуса и высоту конуса через теорему синусов и косинусов:
$$\begin{cases}d=h \\ \frac{r}{\sin 60^\circ}=\frac{h}{\cos 60^\circ}\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}r=\frac{h \sin 60^\circ}{\cos 60^\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}h \\ \frac{r}{\sin 60^\circ}=\frac{h}{\cos 60^\circ} \Rightarrow h=r\sqrt{3}= \frac{3\sqrt{3}}{2}r\end{cases}$$
Теперь можно найти объем шара и объем конуса:
$$V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi(\frac{d}{2})^3=\frac{4}{3}\pi(\frac{h}{2})^3=\frac{\pi}{6}h^3$$
$$V_{\text{конуса}}=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{\sqrt{3}}{12}\pi h^3$$
Отношение объемов:
$$\frac{V_{\text{конуса}}}{V_{\text{шара}}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{12}\pi h^3}{\frac{\pi}{6}h^3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

2. Заметим, что площадь осевого сечения цилиндра равна площади круга с радиусом, равным радиусу цилиндра. А значит, можно найти радиус и высоту цилиндра:
$$\begin{cases}\pi r^2 =48\\ \pi r^2h=96\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}r=2\\ h=24/r=12\end{cases}$$
Теперь можно найти радиус сферы, описанной около цилиндра, и площадь этой сферы:
$$r=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{144+4}=2\sqrt{37}$$
$$S=4\pi r^2=4\pi(2\sqrt{37})^2=148\pi$$
Ответ: $148\pi$