Question

В прямоугольнике  ABCD сторона AB равна 12 см,а угол ABD равен 60°. Найдите диагональ AC

Answer 1

В             С

А             Д

в треугольнике АВД угол АВД=60градусов, угол ВДА=90-60=30градусов
катетАВ=12см, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы ВД.
Значит ВД=12*2=24см
ВД=АС=24см (по св-ву прямоугольника диагонали равны)

Answer 2

Разделим треугольник ABD на два равносторонних треугольника ABE и DBE (по условию угол ABD равен 60 градусам). Тогда AE = BE = BD = 12/2 = 6 см.

Теперь в треугольнике AEC применим теорему косинусов:

AC^2 = AE^2 + EC^2 - 2AE*EC*cos∠AEC

Осталось найти косинус угла ∠AEC. Заметим, что треугольники AEC и BED подобны, так как у них два угла равны (из-за того, что угол ABD равен 60 градусам). Тогда соответствующие стороны пропорциональны:

AE/BD = EC/BE

6/6 = EC/12

EC = 6 см

А значит, косинус угла ∠AEC равен:

cos∠AEC = EC/AC = 6/AC

Тогда подставляем все в формулу для AC^2:

AC^2 = 6^2 + 12^2 - 2*6*12*cos60°

AC^2 = 36 + 144 - 72

AC^2 = 108

AC = √108 = 6√3 см

Ответ: диагональ AC равна 6√3 см.